同一法

今までの内容から,数学の理論を構成するとき,A→Bが証明できたら,B→Aもあわせて証明 することが大切であることが分かったと思います.
ただ,一般にA→Bが証明できたからといって,B→Aが簡単に証明できるとは限りません.
この章では,逆を証明するときに用いる同一法について解説します.
命題の復習から始めましょう.
命題 a→b
であるとは,aを満たすものは何であってもbを満たすということです.
命題が真でないときその命題は(ぎ)であるといいます.
上の命題が偽であるとは,aを満たすがbを満たさないものが存在するということです.
  偽のとき存在する,aを満たすがbを満たさない例を命題の反例といいます.
命題を考えるとき,考える対象がはっきりしていなければなりません.
命題1
 正の数xについて
=1→x=1
命題2
 実数xについて
=1→x=1
命題1は真ですが命題2は偽です.
このように考えている対象は大切です.
この対象にしている要素全体よりなる集合を 命題の全体集合といいます.
命題の真偽を調べるとき,
命題 a→b
のとき,条件aを満たす要素全体からなる集合A,条件bを満たす要素全体からなる集合Bを 考えたほうが便利なことが多く,集合A,Bをそれぞれ条件a,bの真理集合といいます.
もちろん
命題 a→b
が真であることはAがBの部分集合(A⊂Bと書く)であることと同値です.




なお,空集合φは任意の集合の部分集合ですから
命題 a→b
で条件aを満たす要素がない,すなわち条件aの真理集合が空集合φのときbがどんな条件 であろうと真となります.

同一法の説明の準備が整いました.
命題の逆を証明する同一法とは次の証明方法です.

命題 a→b が真であり,aを満たす要素が存在し,bがただ一つの要素からなるとき.
逆の命題
命題 b→a 
がなりたつ.


理由は真理集合で考えると難しくありません.
aの真理集合Aはbの真理集合Bの部分集合であり,Aの要素が空集合でなく, Bが唯一つの要素からなるのでA=Bすなわち,aとbは同値です.
したがって
命題 b→a
が真となります.

ここの説明で分かるように,逆が成り立つというより,同値であるといった方, すなわち

命題 a→b が真であり,aを満たす要素が存在し,bがただ一つの要素からなるとき aとbは同値である.
とした方が自然です.

同一法を用いることが出来る場合の条件をもう一度確認しましょう.

命題 a→b が真であり
(1)aを満たす要素が存在する
(2)bがただ一つの要素からなる
すなわち,命題が真で(1),(2)が成り立つとき,aとbは同値です.


続く

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