円錐曲線の定義準備が長かったですが，これから射影幾何学における円錐曲線の定義をします．２つの線束が与えられたとき，線束間に配景写像はいくらでも存在します． すなわち，$O_1,O_2$が中心の線束のとき，$O_1,O_2$を通らない直線$l$を与えれば， $P\in l$のとき $O_1P\mapsto O_2P$ により$l$が配景軸の配景写像が与えられる． これは，２つの線束に配景写像を与えたとき， 対応直線の交点の軌跡は直線であるということもできる（前頁命題２参照）． 射影幾何学における円錐曲線の定義は次の通りです． 定義 2つの線束間の配景写像でない射影写像が与えられたとき， 対応直線の交点の軌跡を円錐曲線という． 円錐曲線とは，楕円，放物線，双曲線のことであるが射影幾何学ではこれらの区別はしない． 
表面的には問題ないが実態がつかみづらい．なかなか分かりづらい定義です．この意味を理解しましょう．先ず，２つの線束間の配景写像でない射影写像の例を挙げます． 円を利用すると分かりやすい． 中心が$O_1,O_2$の線束に対して，$O_1,O_2$を通る円を定めれば円上の点$P$に 対して線束間の対応を $O_1P\mapsto O_2P$ で定めれば，この対応は配景写像でない射影写像である (右図で，同じ数字の角が等しい)． もう２つ配景でない射影写像の例を挙げる． 
$O_1(O_12,O_23,O_34,\dots)\barwedge O_2(O_216,O_215,O_214,\dots)$ になっている($O_1,O_2$から出ている直線のなす角が一定)．
$O_1(O_1A_1,O_1A_2,O_1A_3,\dots)\barwedge O_2(O_2B_1,O_2B_2,O_2B_3)$ になっている．
これで円錐曲線の定義 
線束$A\longrightarrow$線束$B;AP\mapsto BP$($P$は円周上) は配景写像でない射影写像が分かっているから円錐曲線についても 線束$A'\longrightarrow$線束$B';A'P'\mapsto B'P'$($P'$は円錐曲線上) が配景写像でない射影写像であることがわかる． すでにパスカルの定理を述べたが，射影写像，配景写像を学ぶと 円錐曲線の場合の証明も簡単です． 定理（パスカル） 円錐曲線上に６点$A,B,C,D,E,F$があり，$AB,DE$の交点を$X$,$BC,EF$の交点を$Y$, $CD,FA$の交点を$Z$とする．このとき３点$X,Y,Z$は一直線上にある． 
証明２直線$CD,EF$の交点を$P$, ２直線$BC,ED$の交点を$Q$とする． $B,F$をそれぞれ中心とする線束について $B(BA,BC,BD,BE)$ $\barwedge F(FA,FC,FD,FE)$ が成り立ち，さらに $B(BA,BC,BD,BE)$ $\doublebarwedge XD(X,Q,D,E)$ および $F(FA,FC,FD,FE)$ $\doublebarwedge ZD(Z,C,D,P)$ が成り立つから $XD(X,Q,D,E)$ $\barwedge ZD(Z,C,D,P)$ ここで，$D$が共通であるから $XD(X,Q,D,E)\doublebarwedge ZD(Z,C,D,P)$ したがって，３直線$XZ,CQ(CB),EP(EF)$は１点で交わる． すなわち，$Y$が直線$XZ$上にある．
三角形の内角の２等分線，外角の２等分線から始め，射影幾何学の円錐曲線までの内容をまとめてみました． （内角,外角の二等分線，複比,そして射影幾何の項目終わり） 同一法 目次 |
円錐曲線(楕円，双曲線，放物線）が与えられたとき，中心$O_1,O_2$が
この円錐曲線上にある線束
に対して，円錐曲線上の点$P$を用いて,２線束間の対応を