配景写像と射影写像
これから，射影幾何学における円錐曲線の定義をします．そのために線束の概念が必要です．ここで射影幾何の基本的な概念を説明します． 点$O$を通る有限個，または無限個の直線$l,m,n,\dots$を線束といい$O(l,m,n,\dots)$ または単に$(l,m,n,\dots )$と表す．点$O$を線束の心または中心という． なお，すでに述べた一直線上$l$にある有限個，または無限個の点$A,B,C,\dots$を点列といい， $l(A,B,C,\dots )$または単に$(A,B,C,\dots )$とあらわす． 直線$l$を点列の底または基底と呼ぶ． 点列上の複比$[A,B;C,D]$は $[A,B;C,D]=\dfrac{AC}{CB}\div \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AC\cdot DB}{CB\cdot AD}$ である．内分，外分の式を用いれば $AC:CB=m_1:m_2,AD:DB=n_1:n_2$ のとき $[A,B;C,D]=\dfrac{m_1n_2}{m_2n_1}$ である． 
次に線束$O(l_1,l_2,\dots )$に複比を定義する．線束$O(l_1,l_2,l_3,l_4)$と$O$を通らない直線$m$との交点をそれぞれ $A_1,A_2,A_3,A_4$とする．このとき，複比$[l_1,l_2;l_3,l_4]$を $[l_1,l_2;l_3,l_4]=[A_1,A_2;A_3,A_4]\cdots (\sharp)$ によって定義する．この定義は$m$の選び方によらないので意味がある. $(\sharp)$を$l_i$固有の値で表すと，前頁で述べたように， ２直線$l_i,l_j$の$l_i$から$l_j$に向かって図った角を$\angle (i,j)$ と表せば $[l_1,l_2;l_3,l_4]=\dfrac{\sin \angle (1,3)}{\sin \angle (3,2)}\div \dfrac{\sin \angle (1,4)}{\sin \angle (4,2)} =\dfrac{\sin \angle (1,3)\sin \angle (4,2)}{\sin \angle (3,2)\sin \angle (1,4)}$ である． 現在考えている対象は点列と線束です．この２つを，射影幾何の１次元基本形といいます． １次元基本形間の３種類の写像を定義する． 
$\bullet$ 点列と線束間の写像を点列$l(A_1,A_2,A_3,\cdots)$と線束$O(m_1,m_2,m_3,\cdots)$の対応を $A_i$に$A_i$を通る直線$m_i$を対応させる． $m_i$に$l,m_i$の交点を$A_I$を対応させる． ただし，点列の基底$l$は線束の中心$O$を通らない場合だけ考える． によって定義する． この写像を配景写像といい $l(A_1,A_2,A_3,\dots)\stackrel{O}{\doublebarwedge} O(m_1,m_2,m_3,\dots)$ $l(m_1,m_2,m_3,\dots)\stackrel{O}{\doublebarwedge} O(A_1,A_2,A_3,\dots)$ と表す． なお，点列の基底や線束の中心は明らかな場合は $(A_1,A_2,A_3,\dots)\doublebarwedge (m_1,m_2,m_3,\dots)$ $(m_1,m_2,m_3,\dots)\doublebarwedge (A_1,A_2,A_3,\dots)$ と中心を省略する． 
$\bullet$ 点列と点列間の写像２つの点列 $l(A_1,A_2,A_3,\cdots ),$ $m(B_1,B_2,B_3,\cdots )$ に対して，一つの線束が存在して，$l$上の点$A_i$に$A_i$を通る線束の直線 と$m$のと交点$B_i$を対応させる． この写像も配景写像といい，線束の中心が$O$のとき $l(A_1,A_2,A_3,\dots)\stackrel{O}{\doublebarwedge} m(B_1,B_2,B_3,\dots)$ と表す． なお，点列の基底や線束の中心は明らかな場合は $(A_1,A_2,A_3,\dots)\doublebarwedge (B_1,B_2,B_3,\dots)$ とする． 
$\bullet$ 線束と線束間の写像２つの線束 $O_1(m_1,m_2,m_3,\cdots )$, $O_2(n_1,n_2,n_3,\cdots )$ に対して，一つの点列$l$が存在して， 線束$O_1$に属する直線$m_i$に,直線$l$との交点が同じである線束$O_2$に属する直線$n_i$を応させる． この写像も配景写像という．ここで用いた点列$l$をこの配景写像の配景軸という． この写像を $O_1(m_1,m_2,m_3,\dots)\stackrel{l}{\doublebarwedge} O_2(n_1,n_2,n_3,\dots)$ と表す． なお，配景軸や線束の中心は明らかな場合は $(m_1,m_2,m_3,\dots)\doublebarwedge (n_1,n_2,n_3,\dots)$ とする． 以上配景写像を定義した．いずれの配景写像も複比を保つ． 実際,たとえば $f:l\longrightarrow m;l(A_1,A_2,A_3,A_4)\stackrel{O}{\doublebarwedge} m(B_1,B_2,B_3,B_4)$ のとき 複比は $[A_1,A_2;A_3,A_4]=[B_1,B_2;B_3,B_4]$ を満たす． 
しかし，配景写像の合成は一般に配景写像ではない．実際右図で$(A,B,C)\stackrel{O}{\doublebarwedge} (A',B',C'){\doublebarwedge} (A",B",C")$ であるが，$(A,B,C)$と$(A',B',C')$は配景対応ではない． これは理論を作り上げるうえで よろしくない． 配景写像より広い概念である射影写像を定義する． $\Gamma(\alpha _i),\Phi(\beta _i)$をそれぞれ点列または線束のいずれかとする． $\Gamma$から$\Phi$への対応で複比を変えないもの，すなわち $\alpha _i\mapsto \beta _i$のとき $[\alpha _1,\alpha _2;\alpha _3,\alpha 4]=[\beta _1,\beta _2;\beta _3,\beta _4]$ を満たす． この写像を射影写像といい $\Gamma(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots)\barwedge \Phi(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\dots)$ と表す． ($\barwedge$と$\doublebarwedge$は異なるので注意) 配景写像と射影写像の関係を調べよう． 命題1 配景写像は射影写像である． これはすでに述べた通りである． 命題2 同種類間の射影写像すなわち点列間の射影写像または線束間の射影写像が 配景写像になるための必要十分条件は 共通の要素が対応することである． 
証明点列間の写像の場合を証明する． 配景写像は共通の点すなわち点列の基底の交点が対応点である． したがって，射影写像で共通の要素が対応点のとき配景写像であることを証明すればよい． 射影写像 $f:l(A,B,C,D,\dots)\barwedge m(A',B',C',D',\dots)$ で$A=A'$とする． 2直線$l,m$の交点が$A(A')$である． 2直線$BB',CC'$の交点を$O$とする． $O$を配景の中心とする配景写像 $l(A,B,C,D,\dots)\stackrel{O}{\doublebarwedge} m(A',B',C',D",\dots)$ を考える．すなわち$OD$と直線$m$との交点を$D"$とする．このとき$D"=D'$を示せばよい． 配景写像，射影写像ともに複比を保つから $[A,B;C,D]=[A',B';C',D'],[A,B;C,D]=[A',B';C',D"]$ したがって $[A',B';C',D']=[A',B';C',D"]$ より$D'=D"$である． $\because \dfrac{A'C'}{C'B'}\cdot\dfrac{D'B'}{A'D'} =\dfrac{A'C'}{C'B'}\cdot\dfrac{D"B'}{A'D"}$ より $A'D':D'B'=A'D":D"B'$ したがって証明が終了した． 配景写像，射影写像の性質を用いてパップスの定理を証明しよう． 定理(Pappus) 直線$l$上に3点$A,B,C$があり，直線$m$上に３点$D,E,F$がある． 2直線$AE,BD$の交点を$P$,2直線$AF,CD$の交点を$Q$,2直線$BF,CE$の交点を$R$ とすると３点$P,Q,R$は一直線上にある． 
証明２直線$l,m$の交点を$O$,2直線$AF,BD$の交点を$S$, ２直線$BF,CD$の交点を$T$とする． $A$を配景の中心とする配景写像と$C$を配景の中心とする配景写像の合成を考える． $DB(D,P,S,B)\stackrel{A}{\doublebarwedge}OF(D,E,F,O)\stackrel{C}{\doublebarwedge} BF(T,R,F,B)$ したがって $DB(D,P,S,B)\barwedge BF(T,R,F,B)$ 共通の点$B$が対応しているから配景写像．したがって $DB(D,P,C,B)\doublebarwedge BF(T,R,F,B)$ $DT(DC),PR,SF(AF)$が１点で交わる．すなわち，$DC$と$AF$の交点$Q$が$PR$上にある． 円錐曲線の定義 目次 |