パスカルの定理

定理
極射影で複比はたもたれる．すなわち $O$を中心とする極射影で直線$m$上の点$A,B,C,D$がそれぞれ 直線$n$上の点$A',B',C',D'$にうつるとき，
$[A,B;C,D]=[A',B';C',D']$
が成り立つ．
証明
直線$OA,OB,OC,OD$をそれぞれ$1,2,3,4$とし $\triangle OAB$の面積を$S_{12},\angle AOB=(12)$と表し，他の三角形の面積，角も同様に表します．
ただしの面積，角は向きを考え，$(12)$と$(21)$では符号が反対です．
$2S_{12}=OA\cdot OB\sin (12)$
等をもちいて，複比を計算する.
$[A,B;C,D]$
$=\dfrac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}$
$=\dfrac{S_{13}S_{24}}{S_{23}S_{14}}$
ここで
$4S_{13}S_{24}=OA\cdot OC\sin (13)OB\cdot OD\sin (24)$
$4S_{23}S_{14}=OB\cdot OC\sin (23)OA\cdot OD\sin (14)$
したがって，$OA\cdot OB \cdot OC \cdot OD$が約分されて
$[A,B;C,D]=\dfrac{\sin (13)\sin (23)}{\sin {23}\sin (14)}$
となり，$OA,OB,OC,OD$の長さに関係しないことがわかり
$[A,B;C,D]=[A',B';C',D']$
が示せました．

以上で，極射影で複比は保たれることがわかりました．
次のように言うこともできる．
点$O$の位置に目をおいて，直線$m$上の点$A,B,C,D$を見えたそのままに 直線$n$上に$A',B',C',D'$をかいたとき，新しく描かれた $A',B',C',D'$の複比と元の点$A,B,C,D$の複比は等しい． すなわち，図形を見えるままに描いたときに保たれる性質の1つに 複比があるといえるわけです．

このようにある変換が与えられたとき，その変換で保たれる性質は何かと考えることは， クラインの提唱した幾何学の研究方法で，20世紀の数学の発展に大きな寄与をしました．

さて，先を急がず，複比が極射影で保たれることが分かったので，ここで完全四角形の中の調和点列を説明する．
完全四角形とは，どの3点も共線でない4点とその任意の2点を結ぶ6本の直線よりなる図形です．
どの3点も共線でない4点$A,B,C,D$をとり，$AB,CD$の交点を$P$,$AD,BC$の交点を$Q$, $AC,BD$の交点を$R$とする．
$A,B,C,D$をこの完全四角形の頂点，6本の直線$AB,AC,AD,BC,BD,CD$を辺，辺のうち共通の頂点を持たない2辺，すなわち$(AB,DC),(AD,BC),(AC,BD)$を対辺と呼び，対辺の交点$P,Q,R$を対角点，対角点を結ぶ直線$PQ,QR,RP$を対角線と呼ぶ．
この完全四角形を完全四角形$ABCD;PQR$と表すことにする．

完全四角形の辺上，対角線上に調和点列が現れる．
命題
$(1) \ $完全四角形の辺上の2頂点，辺上の対角点，残りの対角点の定める対角線と辺の交点は調和点列をなす．
$(2) \ $完全四角形の対角線上の2つの対角点，残りの対角点を通る2辺と対角線の交点は調和点列をなす．
完全四角形$ABCD;PQR$で$PR$と$BC,AD$との交点をそれぞれ$S,T$,$QR$と$AB,CD$との交点をそれぞれ$U,V$とすると$(1)$は辺$BC$上で$B,C;S,Q$が調和点列で，$(2)$は対角線$QR$上で$U,V;R,Q$が調和点列であるという意味である.
証明
$P$を射影の中心とすれば
$[B,C;S,Q]=[A,D;T,Q]$
$R$を射影の中心とすれば
$[A,D;T,Q]=[C,B;S,Q]$
したがって
$[B,C;S,Q]=[C,B:S,Q]$
$[B,C;S,Q]=x$とおけば
$x=\dfrac{1}{x}$
より$x=1,-1$
$B,C.S,Q$はどの2つも異なるので$x=-1$
$\therefore [B,C;S,Q]=-1$
$P$を射影の中心とし
$[U,V;R,Q]=[B,C;S,Q]=-1 \ \blacksquare$

なお
$[A,B;C,D]=1$
となるのは$A,B$または$C,D$が一致するときである．
実際
$[A,B;C,D]=\dfrac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}=1$
を解くと
$(a-b)(c-d)=1$
逆に，$A,B$または$C,D$が一致するとき
$[A,B;C,D]=1$

この命題は，直線上に３点を与えたときの， 調和点列をなす第４点(これを第４調和点という)を求める方法を示している．
実際，直線$BC$上に点$S$が与えられているとき第４調和点は次のよう求めればよい．
1.直線外に１点$P$をとり，$\triangle PBC$を作る．
2,線分$PS$上に１点$R$をとり，$BR,PC$の交点を$D$,$CR,PB$の交点を$A$
3.$AD$と$BC$の交点$R$が求める点である．

例題
平面上に線分$AB$と領域$X$が右図のように与えられている．
定規が$X$の中を横切らないようにかつ定規だけを用いて線分$AB$を$X$の右側に延長せよ．
解
線分$AB$上に点$C$を取り，$A,B;C,D$が調和共役となる点$D$を定規を用いて求めればよい．
右図は1点だけ求めているが，もう1点求め直線を引けばよい．

ここで述べた内容は，直線を引くだけすなわち定規だけしか用いていないことに注目すべきです．
なお，第４調和点をみつけるのに，長さや角を用いることが出来るなら，
直線$BC$上に点$W$が与えれたとき，$B,C;W,X$が調和点列となる点$X$は
$P$を$PB:PC=BW:WC$であるようにとり，$P$を通り$PW$と垂直な直線と$BC$との交点として第４調和点である$X$が求められる．
もし，直線$BC$が引けなければ，もう一つ$P'$を作り$P'$を通る$NP'$に垂直な直線を引き交点を求めればよい．

話を戻そう．皆さんは，子供のころ，裸電球に親指と人差し指で作った輪をかざして，畳に写った影を楽しんだことはないですか．指で輪を動かすといろいろな図形が現れます．それは楕円，双曲線， 放物線と呼ぶ図形です．このことを説明するために， 円錐を平面で切って考えます．

上の円錐の切り口は楕円です．

上の円錐の切り口は双曲線です．

上の円錐の切り口は放物線です．

以上の事実を，極射影の立場から見直せば，極射影で，楕円，双曲線，放物線の曲線群（これらを ２次曲線または円錐曲線といいます）は不変です．
すなわち極射影で保たれる性質は， 上記の曲線群すなわち円錐曲線が持つ性質です．


ここで述べた極射影を利用して，円錐曲線の持つ性質を調べましょう．
極射影で円錐曲線は自由に変わります．したがって，極射影で保たれる性質それは円錐曲線で持つ性質といえます．

３次元空間内に点$O$と２平面$\pi,\pi '$が与えらえた極射影
$f:\pi \longrightarrow \pi ';P\mapsto P'$
を$P'$を直線$OP$と平面$\pi '$の交点と定義する．このとき，
1.複比を保つ
ことはすでに述べました．それ以外の保たれる条件を調べましょう．
基本的ですが
2.点の像は点で，直線の像は直線です．
直線は直線にうつるので，
3.直線上にある３点の像は直線上にうつる．
が成り立ちます．これを通常共線条件を保つといいます．
4.1点で交わる３直線の像は１で交わる３直線である．
これを共点条件を保つといいます．
5. 直線が曲線と接するとき，像の直線も像の曲線と接する．

これらはすぐに分かる内容です．円錐曲線の像は円錐曲線だから， これらの条件を満たす円錐曲線の性質は他の円錐曲線でも 成り立つはずです．ですからこれらに関する性質の証明は円で調べればよいわけです．
具体的に述べましょう．
定理（パスカル） 円周上に６点$A,B,C,D,E,F$があり，$AB,DE$の交点を$X$,$BC,EF$の交点を$Y$, $CD,FA$の交点を$Z$とする．このとき３点$X,Y,Z$は一直線上にある．

証明の前にいくつかの説明を述べる．
極射影を扱うとき，点と直線が対象で， 多角形で左(右)周りに頂点を考える意味がなくなる．
ここで述べた6点$A,B,C,D,E,F$と６本の直線$AB,BC,CD,DE,EF,FA$よりなる図形を ６点形と呼び，この図形を６点形$ABCDEF$とよぶ．

証明
有名定理ですからいろいろな証明が考えられています． ここではメネラウスの定理を用います．
右図で，$\triangle GQP$と直線$ED,FA,BC$におけるメネラウスの定理より
$\dfrac{GE}{EQ}\cdot \dfrac{QX}{XP}\cdot \dfrac{PD}{DG}=-1$
$\dfrac{GF}{FQ}\cdot \dfrac{QA}{AP}\cdot \dfrac{PY}{YG}=-1$
$\dfrac{GZ}{ZQ}\cdot \dfrac{QB}{BP}\cdot \dfrac{PC}{CG}=-1$
辺々をかけた式に，方べきの定理
$GE\cdot GF=GC\cdot GD$
$QE\cdot QF=QA\cdot QB$
$PA\cdot PB=PC\cdot PD$
より約分すると，残ったのは
$\dfrac{QX}{XP}\cdot \dfrac{PY}{YG}\cdot \dfrac{GZ}{ZQ}=-1$
となり，３点$X,Y,Z$が一直線上にあることが示された．


次に，上の極射影の図を見ましょう．
平面$\pi$上に円を描くとその像は円錐曲線で，円上にある点は円錐曲線上にあり，同一直線上の３点は同一直線上に うつるから．パスカルの定理は円錐曲線上でも成り立つことが分かります．
パスカルの定理を書き直すと次のようになります．
定理（パスカル） 円錐曲線（楕円，双曲線，放物線）上に６点$A,B,C,D,E,F$があり，$AB,DE$の交点を$X$,$BC,EF$の交点を$Y$, $CD,FA$の交点を$Z$とする．このとき３点$X,Y,Z$は一直線上にある．

ここで述べた原理は次のようになります．
平面から平面への写像で保たれる性質だけを用いた図形の定理は， 像の図形でも成り立つ

この意味をユークリッド幾何で説明すると，ユークリッド幾何は，合同変換で保たれる性質を研究する学問です．
合同変換は長さ，角，面積等は保たれるから，これらは研究の対象です，
たとえば
定理
$\triangle ABC$において
$AB=AC\longrightarrow B=C$
は合同な三角形では成り立つからユークリッド幾何の定理です．
しかし極射影では成り立ちませんから， 極射影で決まる幾何学(射影幾何といいう)の定理ではありません．

さて，話を進めましょう．
パスカルはここで示した定理を16歳のときに証明したといわれています．パスカル少年は， この定理を証明してだけで偉いのですが，それだけではありません． この定理から得られるいろいろな性質（これを定理の系と呼ぶ） を得ています．１つだけ紹介します．

円上の６点を通常の６角形すなわち左回りまたは右回りになるようにとり，円に内接する６角形$ABCDEF$ を考える．
$B$を$A$に近づけると直線$AB$は点$A$における接線に近づき．同様に$D$を$C$ に$F$を$E$に近づけると，それぞれ$C$の接線，$E$の接線に近づく． したがって次の定理が成り立つ．

定理の系1
円に内接する三角形$ACE$の$A$における接線と$CE$の交点を$P$, $C$における接線と$EA$の交点を$Q$,$E$における接線と$AC$の交点を$R$ とすると，３点$P,Q,R$は同一直線上にある．

ここで用いたのは極射影で保つ性質だけであるから次の性質も成り立つ．

定理の系2
円錐曲線に内接する三角形$ACE$の$A$における接線と$CE$の交点を$P$, $C$における接線と$EA$の交点を$Q$,$E$における接線と$AC$の交点を$R$ とすると，３点$P,Q,R$は同一直線上にある．

配景写像と射影写像

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