平行四辺形の続き

であるから
∠A=∠B=∠C=∠D



２．対角線AC，BDの交点をOとする．
△ABOと△ADOにおいて
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ABO≡△ADO
∴　AB＝AD
さらに
AB=CD,BC=DA
であるから
AB=BC=CD=DA

３は１，２をあわせたものである．

最後に例題を２題扱いましょう．

例題１
　 線分ABは与えられている．線分AB上に１点Cを取り，AC，CBをそれぞれ１辺とする正三角形 ACD，CBEをABの同じ側につくり，線分DEの中点をPとする．点Cが線分AB上をAからBまで 動くとき，点Pはどのようにように動くか調べよ．

解
ADとDEの交点をFとすると，△FABは正三角形で，四角形FDCEは 平行四辺形である．
したがって，DEの中点とCFの中点は一致する．
ゆえに，AF，BFの中点をそれぞれＭ，Ｎとすれば，点Pは線分ＭＮを 動く．




例題２　四角形ABCDがある．∠Aの二等分線と∠Bの二等分線，∠Dの２等分線との交点を それぞれP，Qとし，∠Cの二等分線と∠Dの二等分線，∠Bの２等分線との交点を それぞれR，Sとする．四角形PQRSが長方形，正方形になるときの四角形ABCDの形状を調べよ．



解
四角形PQRSが長方形のとき．
∠P＝９０°であるから
∠A／２＋∠B／２＝９０°
したがって，∠A＋∠B＝１８０°
∴　AD‖BC
同様にAB‖DC
であるから四角形ABCDは平行四辺形．
逆に四角形$ABCD$が平行四辺形のとき，
∠A+∠B=180°
より
∠P=90°
他も同様に示せるから，四角形PQRSは長方形である．


次に四角形PQRSが正方形のとき．
四角形ABCDは平行四辺形のとき考えればよい．
∠Aの２等分線と辺BCとの交点をT，
∠Cの２等分線とADとの交点をUとする．
このときBA＝BTが成り立ち，∠APB＝９０° よりAP＝PT．
同様にCR＝RU
ここで，四角形PTCRは１組の対辺PT，RCが平行で 長さが等しいから平行四辺形．
したがって，PR‖BC．
同様にSQ‖AB
長方形PQRSが正方形になるためには，SQ⊥PRであればよいから， AD⊥AB．
すなわち四角形ABCDは長方形である．


逆に，四角形ABCDが長方形のとき，
∠P=90°,∠Q=90°，∠C=90°,∠D=90°
であり， PR‖BC．SQ‖AB
より四角形PQRSは正方形である．

内角の２等分線・外角の２等分線と複比

目次