平行四辺形の続き

次に,長方形,ひし形,正方形の性質を扱いましょう.
定義
1.4つの角が等しい四角形を長方形という.
2.4辺の長さが等しい四角形をひし形という.
3.4つの角が等しくかつ4辺の長さの等しい四角形を正方形という.

まず,長方形(2組の対角の大きさがそれぞれ等しい), ひし形(2組の対辺の長さが等しい), 正方形はいずれも平行四辺形であり,平行四辺形の 性質は自由に使うことが出来ることに注意しましょう.
これらの図形の対角線には次の性質があります.

命題
1.長方形の対角線は長さが等しい.
2.ひし形の対角線は垂直に交わる(直交するという)
3.正方形の対角線は長さが等しく,垂直に交わる,
証明




1.△ABDと△BACにおいて
2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ABD≡△BAC
したがってBD=AC




2.対角線AC,BDの交点をOとする.
△ABOと△ADOにおいて
3辺がそれぞれ等しいから
△ABO≡△ADO
∴ ∠AOB=∠AOD
∴ ∠AOB=90°

3は1,2をあわせたものである.

逆の命題は次のようになります.

命題
平行四辺形において
1.対角線の長さが等しいなら長方形である.
2.対角線が直交するならひし形である.
3.対角線の長さが等しく直交するなら正方形である.
証明




1.△ABDと△BACにおいて 3辺がそれぞれ等しいから
△ABD≡△BAC
∠A=∠B
さらに,
∠A=∠C,∠B=∠D であるから
∠A=∠B=∠C=∠D



2.対角線AC,BDの交点をOとする.
△ABOと△ADOにおいて
2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ABO≡△ADO
∴ AB=AD
さらに
AB=CD,BC=DA
であるから
AB=BC=CD=DA

3は1,2をあわせたものである.

最後に例題を2題扱いましょう.

例題1
  線分ABは与えられている.線分AB上に1点Cを取り,AC,CBをそれぞれ1辺とする正三角形 ACD,CBEをABの同じ側につくり,線分DEの中点をPとする.点Cが線分AB上をAからBまで 動くとき,点Pはどのようにように動くか調べよ.


ADとDEの交点をFとすると,△FABは正三角形で,四角形FDCEは 平行四辺形である.
したがって,DEの中点とCFの中点は一致する.
ゆえに,AF,BFの中点をそれぞれM,Nとすれば,点Pは線分MNを 動く.




例題2 四角形ABCDがある.∠Aの二等分線と∠Bの二等分線,∠Dの2等分線との交点を それぞれP,Qとし,∠Cの二等分線と∠Dの二等分線,∠Bの2等分線との交点を それぞれR,Sとする.四角形PQRSが長方形,正方形になるときの四角形ABCDの形状を調べよ.




四角形PQRSが長方形のとき.
∠P=90°であるから
∠A/2+∠B/2=90°
したがって,∠A+∠B=180°
∴ ADBC
同様にABDC
であるから四角形ABCDは平行四辺形.
逆に四角形$ABCD$が平行四辺形のとき,
∠A+∠B=180°
より
∠P=90°
他も同様に示せるから,四角形PQRSは長方形である.


次に四角形PQRSが正方形のとき.
四角形ABCDは平行四辺形のとき考えればよい.
∠Aの2等分線と辺BCとの交点をT,
∠Cの2等分線とADとの交点をUとする.
このときBA=BTが成り立ち,∠APB=90° よりAP=PT.
同様にCR=RU
ここで,四角形PTCRは1組の対辺PT,RCが平行で 長さが等しいから平行四辺形.
したがって,PRBC.
同様にSQAB
長方形PQRSが正方形になるためには,SQ⊥PRであればよいから, AD⊥AB.
すなわち四角形ABCDは長方形である.


逆に,四角形ABCDが長方形のとき,
∠P=90°,∠Q=90°,∠C=90°,∠D=90°
であり, PRBC.SQAB
より四角形PQRSは正方形である.

内角の2等分線・外角の2等分線と複比

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