平行四辺形

今回は,平行四辺形について学びます.内容はそれほど難しくは ありません.
内容より,数学における議論の進め方,すなわちすでに証明した 事実だけを用いて,次の命題を証明するということに注目してください.

本文に入りましょう.
まず平行四辺形の定義は次の通りです.

定義 向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形を平行四辺形という.

次のように定義してもかまいません.



定義 四角形ABCDが平行四辺形とは ABDC,ADBC を満たす四角形である.

四角形で,向かい合う辺を対辺,向かいあう角を対角といいます.

現時点では,平行四辺形では2組の対辺がそれぞれ平行であるしか使えません. そこから,平行四辺形の性質を学んでいくことになります.

命題1 
平行四辺形は,2組の対辺がそれぞれ等しい.




証明 
△ABCと△CDAにおいて
AC=CA
ABCDより
∠A=∠C
ADBCより
∠C=∠A
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ABC≡△CDA
したがって,
AB=CD,BC=DA

逆も証明しましょう.

命題2
四角形ABCDで
AB=CD,AD=BC
が成り立つなら
ABCD,ADBC
がなりたつ.





△ABCと△CDAにおいて
3辺がそれぞれ等しいから
△ABC≡△CDA
が成り立ちます.
したがって,
∠ACD=∠CAD
錯覚が等しいから
ADBC.ABCD
も同様です.

以上で次の定理が証明できました.
定理1
  平行四辺形
⇔2組の対辺がそれぞれ等しい.


これで,これからは,平行四辺形とは,対辺がそれぞれ平行なだけでなく,対辺の長さが等しいことも 自由に使えることになりました.

次は平行四辺形の対角の関係です.

定理2
平行四辺形
⇔2組の対角がそれぞれ等しい.




証明
(→)△ABD≡△CDA
より∠B=∠D
が示せ,
同様に
△ABD≡△CDB
より.
∠A=∠C
が示せます.



(←)∠A=∠C,∠B=∠D
より∠A+∠B=∠C+∠D
∴∠A+∠B=180°
∴ADBC
同様に
∠A+∠D=∠B+∠C
∴∠A+∠D=180°
∴ABDC
したがって四角形ABCDは平行四辺形である.

次は対角線の関係です.
定理3
平行四辺形⇔対角線が互いに他を2等分する




証明
対角線AC,BDの交点をOとする.
(→)△ABOと△CDOにおいて
∠A=∠C
∠B=∠D
AB=CD
より△ABO≡△CDO
∴ AO=CO,BO=DO
(←)△ABOと△CDOにおいて
AO=CO
BO=DO
∠O=∠O
より△ABO≡△CDO
したがって
∠OAB=∠OCD
∴ ABDC
同様に△OAD≡△OCBより
ABDC
が成り立ちます.
したがって四角形ABCDが平行四辺形であることが証明されました.

最後に1組の対辺の関係で,これはとても便利な定理です.
定理4
1組の対辺が平行で長さが等しい四角形は平行四辺形である.




証明 
ABCD
AB=CD
のとき四角形ABCDが平行四辺形であることを証明する.
対角線AC,BDの交点をOとする.
△AOBと△CODにおいて
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△AOB≡△COD
したがって,四角形ABCDは対角線が互いに 他を2等分するから平行四辺形である.

平行四辺形の性質は以上で終わりです.
平行四辺形の性質をまとめておきましょう.
1.2組の対辺がそれぞれ平行(定義)
2.2組の対辺の長さがそれぞれ等しい.
3.2組の対角の大きさがそれぞれ等しい.
4.対角線が互いに他を2等分する.

平行四辺形なら,以上のすべての性質が成り立つ.
すなわち,以上の性質を自由に使うことができます.
逆に,上の4性質のいずれかまたは
5.1組の対辺が平行で長さが等しい
が成り立てば,平行四辺形になることが分かりました.

続く

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