平行四辺形今回は，平行四辺形について学びます．内容はそれほど難しくは ありません．内容より，数学における議論の進め方，すなわちすでに証明した 事実だけを用いて，次の命題を証明することに注目してください． 本文に入りましょう． まず平行四辺形の定義は次の通りです． 定義 向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形を平行四辺形という． 次のように定義してもかまいません．  定義 四角形ABCDが平行四辺形とは AB‖DC，AD‖BC を満たす四角形である． 四角形で，向かい合う辺を対辺，向かいあう角を対角といいます． 現時点では，平行四辺形では２組の対辺がそれぞれ平行であるしか使えません． そこから，平行四辺形の性質を学んでいくことになります． 命題１ 平行四辺形は，２組の対辺がそれぞれ等しい．  証明 △ABCと△CDAにおいて AC＝CA AB‖CDより ∠A＝∠C AD‖BCより ∠C＝∠A １辺とその両端の角がそれぞれ等しいから △ABC≡△CDA したがって， AB＝CD，BC＝DA 逆も証明しましょう． 命題２ 四角形ABCDで AB＝CD，AD＝BC が成り立つなら AB‖CD，AD‖BC がなりたつ． 証明 △ABCと△CDAにおいて ３辺がそれぞれ等しいから △ABC≡△CDA が成り立ちます． したがって， ∠CAB＝∠ACD 錯覚が等しいから AB‖CD ∠ACB=∠CAD 錯覚が等しいから BC‖DA 以上で次の定理が証明できました． 定理１ 平行四辺形$\Longleftrightarrow$２組の対辺がそれぞれ等しい． これで，これからは，平行四辺形とは，対辺がそれぞれ平行なだけでなく，対辺の長さが等しいことも 使えることになりました． 次は平行四辺形の対角の関係です． 定理２ 平行四辺形$\Longleftrightarrow$2組の対角がそれぞれ等しい． 証明 （→）△ABD≡△CDA より∠B＝∠D が示せ， 同様に △ABD≡△CDB より. ∠A＝∠C が示せます．  (←)∠A＝∠C，∠B＝∠D より∠A＋∠B＝∠C＋∠D ∴∠A＋∠B＝１８０° 同側内角の和が180°より ∴AD‖BC 同様に ∠A＋∠D＝∠C＋∠B ∴∠A＋∠D＝１８０° ∴AB‖DC したがって四角形ABCDは平行四辺形である． 次は対角線の関係です． 定理３ 平行四辺形$\Longleftrightarrow$対角線が互いに他を２等分する  証明 対角線AC，BDの交点をOとする． （→）△ABOと△CDOにおいて ∠A＝∠C ∠B＝∠D AB＝CD より△ABO≡△CDO ∴ AO＝CO，BO＝DO （←）△ABOと△CDOにおいて AO＝CO BO＝DO ∠O＝∠O より△ABO≡△CDO したがって ∠OAB＝∠OCD ∴ AB‖DC 同様に△OAD≡△OCBより AD‖BC が成り立ちます． したがって四角形ABCDが平行四辺形であることが証明されました． 最後に１組の対辺の関係で，これはとても便利な定理です． 定理４ １組の対辺が平行で長さが等しい四角形は平行四辺形である． 証明 AD‖BC AD＝BC のとき四角形ABCDが平行四辺形であることを証明する． 対角線AC，BDの交点をOとする． △AODと△COBにおいて AD=CB ∠A=∠C ∠D=∠B １辺とその両端の角がそれぞれ等しいから △AOD≡△COB したがって，四角形ABCDは対角線が互いに 他を２等分するから平行四辺形である． ちなみにベクトルを用いれば $AD$‖$BC,AD=BC\Longleftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ であるから 四角形$ABCD$で $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Longleftrightarrow \text{平行四辺形}$ が成り立つ． 平行四辺形の性質は以上で終わりです． 平行四辺形の性質をまとめておきましょう． １．２組の対辺がそれぞれ平行（定義） ２．２組の対辺の長さがそれぞれ等しい． ３．２組の対角の大きさがそれぞれ等しい． ４．対角線が互いに他を２等分する． 平行四辺形なら，以上のすべての性質が成り立つ． すなわち，以上の性質を自由に使うことができます． 逆に，上の４性質のいずれかまたは ５．１組の対辺が平行で長さが等しい が成り立てば，平行四辺形になることが分かりました． 続く 目次 |