三角形の相似の続き

例２
　三角形の内角の和は１８０°で１８０°÷５＝３６°です．３６°，３６°×２＝７２°， ３６°×３＝１０８°が内角である三角形を考えよう．
まず３６°，７２°，７２°の三角形について．

∠A＝３６°，AB＝ACの△ABCを考えます．
∠Bの２等分線と辺ACとの 交点をDとすると，△ABC∽△BCDが成り立ちます．
AB＝AC＝１，BC＝xとおくと
BC＝BD＝AD
であるから
１：x＝x：１−x
この比は，線分AC上で見れば，
AC：AD＝AD：DC　・・@　
となります．@の比，すなわち
線分AC上の点で
（全体）：（２つに分けた長いほう）
＝（２つに分けた長いほう）：（２つに分けた短いほう）
を満たす比を黄金比といいます．
１：x＝x：１−x
を満たすxを求めましょう．
$x^2=1-x$
より
$x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$　・・A
Aの長さを作図しましょう．
$5=1^2+2^2$
を利用して




図のようにすればxの長さが作図できます．
ちなみに，図はAB＝2，BC＝1１，MはABの中点です．
$CD=-1+\sqrt{5}$でありその半分の長さが$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
xの長さが作図できれば，あとは簡単に３６°，７２°，７２° の三角形が作図できます．




すなわち半径１の円と円上の点Aを中心とする上で求めたxの長さの半径の円との 交点がBとすると△OABがもとめる三角形で，△OACは１０８°，３６°，３６° の２等辺三角形です．
つぎに正５角形を考えましょう．正５角形の内角は１０８°ですから，

△ABC，△BCD，△CDEと順に作図していけば，正５角形が作図できる ことが分かりました．

正５角形で対角線AC，ADを結べば
∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝３６°
となります．これは正５角形の外接円をかき， 弧BC,弧CD,弧DEの円周角とみると分かりやすい．
したがって，108°は作図によって３等分できることが 分かりました．
108°は３等分でき，もちろん90°も３等分できるから，
$\dfrac{108^{\circ}}{3}-30^{\circ}=6^{\circ}$
が作図でき，その２等分の$3^{\circ}$も作図できる．したがって
$3^{\circ}\times n \ (n\text{は整数})$
が作図できることが分かります．
さて，
$3^{\circ}\times 3n \ (n\text{は整数})$
は作図によって３等分できることが分かりましたが，ほかに３等分できる角はあるのでしょうか．
これはギリシャ以来の難問です．私にこれらを論ずる資格はありませんが，このように見ると数学は 楽しい学問であることが分かります．

さて，話を戻しましょう．
正５角形がでてきたので，それを調べす．
対角線をすべて結び，P，Q を右図のように定めます．
△ABE∽△DEAより
BE：AE＝AE：QE
∴　BE：BQ＝BQ：QE
また△BQA∽△APQより
BQ：AQ＝AQ：PQ
∴　BQ：BP＝BP：PQ
すなわち，点Qは線分BEを黄金分割する点で，点Pは線分BQを 黄金分割する点です．
このような理由から，正５角形や，星型の次の図形を ギリシャ時代最も美しい図形であるといわれていました．




例３　△ABCは，頂点Aを通る適当な直線で，２つの相似三角形に分けられるという． △ABCの形を調べよう．

これもなかなか面白い問題です．



辺BC上に点Dをとり△ABDと△ADCを考えます．
∠ADC＋∠ADB＝１８０°ですから， もし∠ADC＞∠ADBとすると， ∠ADCは△ABDの∠A，∠Bとは一致しないから（２角の和が１８０°となる） △ABDと△ADCは相似にならない． したがって，∠ADC＝∠ADB＝９０°だけ考えればよい．






△ABDと△ACDで
∠B＝∠Aのとき△ABCは∠A＝９０°の直角三角形．
∠B＝∠Cのとき△ABCはAB＝ACの２等辺三角形．
逆に，直角三角形，２等辺三角形のとき，条件を満たすので求める三角形は ∠Aが直角の直角三角形かAB=ACの二等辺三角形である．

平行四辺形

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