三角形の相似

今回は，三角形の相似について扱う．

２つの図形Ｓ，Ｓ’があり，片方の図形を一定の割合に拡大，縮小したものがもう一方の 図形になっているときＳとＳ’は相似であるといいＳ∽Ｓ’と表します．



まず，２つの三角形が相似になるための条件，すなわち相似条件から始めましょう．
三角形の合同条件は
@３辺がそれぞれ等しい
A２辺とその間の角がそれぞれ等しい
B１辺とその両端の角がそれぞれ等しい
でした．
△DEFは△ABCの２倍の大きさの相似な三角形とすると，



△DEFを決めるのに
@に対応する方法は
DE：AB＝EF：BC＝FA：CA＝2:1
でDE，EF，FDを定めれば△DEFが定まります.
ここで，2:1は関係ないので相似条件は
$AB:DE=BC:EF=CA:FD$
となる．

Aに対応する方法は
∠E＝∠B，DE：AB＝EF：BC＝２：１
でDE，EF，FDを定めれば△DEFが定まります．
2:1は関係ないので相似条件は
$AB:DE=BC:EF,\angle B=\angle E$
となる．

Bに対応する方法は
∠E＝∠B，∠F＝∠C，EF：BC＝２：１
でDE，EF，FDを定めれば△DEFが定まります．
相似であるためには大きさすなわち２：１は関係ないから，
$\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$
となる．

三角形の相似条件は次のようにまとめられます．
△ABCと△DEFが相似になるための条件．
@　３組の辺の比が等しい．
すなわち
AB：DE＝BC：EF＝CA：FD
A　２組の辺の比が等しく，その間の角が等しい．
すなわち，例えば，
AB：DE＝BC：EF　，∠B＝∠E
B　２組の角がそれぞれ等しい．
すなわち，例えば，
∠B＝∠E，∠C＝∠F
となります．
相似では，合同の場合に扱った直角三角形の場合や両意の合同に対応するものはありません．

相似を用いて例題を扱いましょう．
例１（三平方の定理を相似を利用して証明しよう）
∠A＝９０°の直角三角形ABCでAから斜辺BCに下ろした垂線の足をDとします．



直角三角形ABCの内角は直角，∠B，∠Cあり，△ABDの内角は直角と∠Bが△ABC の内角と一致するから△ABC∽△DBA．同様に△ABC∽△DACである．
△ABC∽△DBAより
BC：AB＝AB：BD
∴　AB２＝BC・BD・・@　
△ABC∽△DACより
BC：AC＝CA：CD
∴　AC２＝BC・CD・・A
@＋Aより
AB２＋AC２
＝BC・（BD＋CD）＝BC２

したがって次の３平方の定理が成り立つことが証明できました．
定理
△ABCにおいて ∠A＝９０°なら
AB２＋AC２＝BC２
が成り立つ．




逆も証明しておきましょう．逆も証明し，仮定と結論が同値であることをその都度確認することが， 数学の議論を単純にするコツだからです．
逆は同一法と呼ばれる証明法を用いるのですが，これはあとで扱います．
定理（３平方の逆）
△ABCにおいて
AB２＋AC２＝BC２
なら∠A＝９０° が成り立つ．




証明　△DEFは∠D＝９０°，DE＝AB，DF＝ACの直角三角形とする．２辺と その間の角が与えられているからこのような三角形は唯一つに決まる．
一方，△ABCで，BCは
AB２＋AC２＝BC２
を満たす．一方△DEFではすでに証明した三平方の定理より
DE２＋DF２＝EF２
が成り立つ.
AB=DE,AC=DFより
BC＝EF
したがって，△ABCと△DEFにおいて，３辺がそれぞれ等しいから△ABC≡△DEF
したがって∠A＝９０°である．


すっきりしない証明かも知れません．同一法の原理を学習してからもう一度読み直しましょう．


続く

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