転換法の応用ここでは，転換法の応用として，シュタイナー・レームスの定理を扱います．定理（シュタイナー・レームス） △ABCの∠B，∠Cの２等分線をそれぞれBD，CEとする． このとき次が成り立つ． BD＝CE →AB＝AC  ここで出てくるシュタイナー（Jacob Steiner)は１９世紀の幾何学者です． ガウスを中心とする数学の主流からは離れているので それほど有名ではありませんが，初等数学を扱っているとしばしばお世話になる， 偉大な数学者の１人です． この定理を直接証明するのは思ったより面倒です（角の２等分線を参照）． しかし転換法を用いるとあっさり解決します． すなわち次の命題を証明すれば十分です． 命題 △ABCの∠B，∠Cの２等分線をそれぞれBD，CEとする． このとき次が成り立つ． （１）AB＝AC →BD＝CE （２）AB＞AC →BD＞CE （３）AB＜AC →BD＜CE 証明 （１）は△DBC≡△ECBより成り立ちます(一辺とその両端の角がそれぞれ等しい)． （２）を証明します．  AB＞ACより ∠B＜∠Cが成り立ちます． ∠B＝２β，∠C＝２γ とおき， 図のように，AB上の点Eを ∠ECB=γ を満たすようにとり， ∠Bの２等分線BD上に点Fを ∠ECF=β を満たすようにとります． このとき △EBO∽△FCO ですから ∠E＝∠F したがって，４点E，B，C，Fは 同一円周上にあります． 円の半径をＲとすると BF＝２Ｒsin∠FCB CE＝２Ｒsin∠EBC ここで ∠FCB＞∠EBC かつ ∠FCB＋∠EBC＜１８０° より sin∠FCB＞sin∠EBC であるから BF＞CE ∴ BD＞CE （３）は（２）と同様ですから証明が終了しました． もとの命題が真であっても逆が偽の例はたくさんありますが， 逆が正しいのに証明が簡単でない有名な例です． 回転変換と対称変換 目次 |