転換法の応用

ここでは,転換法の応用として,シュタイナー・レームスの定理を扱いましょう.

定理(シュタイナー・レームス)
△ABCの∠B,∠Cの2等分線をそれぞれBD,CEとする.
このとき次が成り立つ.
BD=CE
→AB=AC




ここで出てくるシュタイナー(Jacob Steiner)は19世紀の幾何学者です.
ガウスを中心とする数学の主流からは離れているので それほど有名ではありませんが,初等数学を扱っているとしばしばお世話になる, 偉大な数学者の1人です.

この定理を直接証明するのは思ったより面倒です(角の2等分線を参照).
しかし転換法を用いるとあっさり解決します.
すなわち次の命題を証明すれば十分です.

命題
△ABCの∠B,∠Cの2等分線をそれぞれBD,CEとする.
このとき次が成り立つ.
(1)AB=AC
→BD=CE
(2)AB>AC
→BD>CE
(3)AB<AC
→BD<CE


証明
(1)は△DBC≡△ECBより成り立ちます.
(2)を証明します.



AB>ACより
∠B<∠Cが成り立ちます.
∠B=2β,∠C=2γ
とおき,
図のように,OD上に点Fを
∠ECF=β
を満たすようにとります.
このとき
△EBO∽△FCO
ですから
∠E=∠F
したがって,4点E,B,C,Fは 同一円周上にあります.
円の半径をRとすると
BF=2Rsin∠FCB
CE=2Rsin∠EBC
ここで
∠FCB>∠EBC
かつ
∠FCB+∠EBC<180°
より
BF>CE
∴ BD>CE
(3)は(2)と同様ですから証明が終了しました.


第2部 変換

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