C 正方形についての4題
正方形についての4題

正方形に関連した有名問題を扱います.初等的な方法と三角比を用いた解法を紹介します.いろいろな別解があるので是非楽しんでください.

例題1
正方形ABCDの辺CD上に点E,辺AD上に点Fを
∠EBF=45°
を満たすようにとる.
このとき,
EF=AF+CF
を満たすことを証明せよ.


解答1

△BCEをBの周りに90°回転した三角形を△BAE’とする.
このとき
△BFE’≡△BFE
より
EF=E’F=AF+CE

解答2


∠EBC=a°,∠ABF=b°
とおく.このとき
a°+b°=45°.
一方,正方形の1辺の長さを1とすると
CE=tana°,AF=tanb°
であり,
EF=(1−tana°)+(1−tanb°)
(CE+AF)−EF
=2(tana°・tanb°+tana°+tanb°−1)
ここで

より
(CE+AF)−EF=0
が成り立つ.


例題2
正方形ABCDの辺CD上に点Eが与えられている.
∠ABEの二等分線と辺ADとの交点をFとする.
このとき,
BE=AF+CE
を満たすことを証明せよ.

解答1
△BCEをBの周りに90°回転した三角形を△BAE’とする.




このとき
∠FBE’=∠FBC
=∠BFE’
∴ BE=BE’
=E’F=CE+AF

解答2




∠CBE=2aとおくと
CE+AF
=tan2a+tan(45°ーa)



例題3
点Pは正方形ABCD内の点で,

である.正方形の1辺の長さを求めよ.

解答1

△QBAは△PBCをBの周りに90°回転したものである.


解答2

∠PBC=a,∠PBA=b,AB=BC=xとすると

cos2a+cos2b=1より
(x−7)+(x−5)=16x



例題4
正方形が3つ横に並んだ次の図形がある.

このとき
∠AFE+∠ACF=∠AEB=45°
が成り立つことを証明せよ.

解答1
△AEFと△CEAに注目すれば
AE:EF=CE:EA
より
△AEF∽△CEA
∴ ∠AFE+∠ACF=∠AEB=45°




解答2
∠AFB=a,∠ACB=bとおくと,

∴ tan(a+b)=1
a+b=45°

(正方形についての4題の項目終わり)




角の2等分線

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