正方形についての４題正方形に関連した有名問題を扱います． 初等的な方法と三角比を用いた解法を紹介します． いろいろな別解があるので自分で考え楽しんでください．例題１ 正方形ＡＢＣＤの辺ＣＤ上に点Ｅ，辺ＡＤ上に点Ｆを ∠ＥＢＦ＝４５° を満たすようにとる． このとき， ＥＦ＝ＡＦ＋ＣＦ を満たすことを証明せよ．  解答１  △ＢＣＥをＢの周りに９０°回転した三角形を△ＢＡＥ’とする． このとき △ＢＦＥ’≡△ＢＦＥ より ＥＦ＝Ｅ’Ｆ＝ＡＦ＋ＣＥ 解答２  ∠ＥＢＣ＝ａ°，∠ＡＢＦ＝ｂ° とおく．このとき ａ°＋ｂ°＝４５°． 一方，正方形の１辺の長さを１とすると ＣＥ＝tanａ°，ＡＦ＝tanｂ° であり， ＥＦ２＝（１−tanａ°）２＋（１−tanｂ°）２ （ＣＥ＋ＡＦ）２−ＥＦ２ ＝２（tanａ°・tanｂ°＋tanａ°＋tanｂ°−１） ここで  より （ＣＥ＋ＡＦ）２−ＥＦ２＝０ が成り立つ． 例題２ 正方形ＡＢＣＤの辺ＣＤ上に点Ｅが与えられている． ∠ＡＢＥの二等分線と辺ＡＤとの交点をＦとする． このとき， ＢＥ＝ＡＦ＋ＣＥ を満たすことを証明せよ．  解答１ △ＢＣＥをＢの周りに９０°回転した三角形を△ＢＡＥ’とする．  このとき ∠ＦＢＥ’＝∠ＦＢＣ ＝∠ＢＦＥ’ ∴ ＢＥ＝ＢＥ’ ＝Ｅ’Ｆ＝ＣＥ＋ＡＦ 解答２  ∠ＣＢＥ＝２ａとおくと ＣＥ＋ＡＦ ＝tan２ａ＋tan（４５°ーａ）  例題３ 点Ｐは正方形ＡＢＣＤ内の点で，  である．正方形の１辺の長さを求めよ．  解答１  △ＱＢＡは△ＰＢＣをＢの周りに９０°回転したものである．  解答２  ∠ＰＢＣ＝ａ，∠ＰＢＡ＝ｂ，ＡＢ＝ＢＣ＝ｘとすると  cos2ａ＋cos2ｂ＝１より （ｘ２−７）２＋（ｘ２−５）２＝１６ｘ２  例題４ 正方形が３つ横に並んだ次の図形がある．  このとき ∠ＡＦＥ＋∠ＡＣＦ＝∠ＡＥＢ＝４５° が成り立つことを証明せよ． 解答１ △ＡＥＦと△ＣＥＡに注目すれば ＡＥ：ＥＦ＝ＣＥ：ＥＡ より △ＡＥＦ∽△ＣＥＡ ∴ ∠ＡＦＥ＋∠ＡＣＦ＝∠ＡＥＢ＝４５° 解答２ ∠ＡＦＢ＝ａ，∠ＡＣＢ＝ｂとおくと，  ∴ tan(ａ＋ｂ)＝１ ａ＋ｂ＝４５° (正方形についての４題の項目終わり) 角の２等分線 目次 |