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円の性質のまとめ

ここで4点が同一円周上のあるための条件,直線が円の接線になるための条件に注目して 円の性質をまとめておきます.
なお,証明は,最後のトレミーの定理以外,すでに学んだページを参考にして下さい.
命題
四角形ABCDで次が成り立つ.
四角形ABCDが円に内接する
⇔∠A+∠C=180°






命題
四角形ABCDで次が成り立つ.
四角形ABCDが円に内接する
⇔∠A+∠C=180°@
⇔∠A=∠DCF  A


@を1組の対角の和が180°である
Aを1つの外角がそれと隣り合う内角の対角に等しい
といいます.


接弦定理
円Oの弦AB,点Aを通る直線AT,およびABに関してTと反対側の円Oの周上に点Cが与えられている.
このとき次が成り立つ.




直線ATが円Oの接線
⇔∠BCA=∠BAT



定理
2つの線分AB,CDまたはそれらの延長どうしが点Pで交わるとき次が成り立つ.
4点A,B,C,Dが同一円周上にある
⇔ PA・PB=PC・PDが成り立つ







定理
一直線上にない3点A,B,T,線分ABの延長上の点P,および3点A,B,Tを通る円Oについて 次が成り立つ.
直線PTが円Oに接する
⇔PA・PB=PTが成り立つ.







定理(トレミー)
同一直線上にない4点A,B,C,Dについて
AB・CD+AD・BC≧AC・BD
が成り立つ.
ただし,等号が成り立つのは,4点A,B,C,Dがこの順に同一円周上にある場合に限る.

証明
4点A,B,C,Dは同一直線上にないから,少なくとも,同一直線上にない3点が存在し,それをA,B,C とする.




△ABCを頂点Aの周りに∠CADの大きさだけ回転し,AD/ACだけ縮小させた三角形を△AEDとする.
このとき
△ABC∽△AED@
より
AB:AC=AE:AD
∴ AB:AE=AC:AD A
また
∠BAC=∠EAD
より
∠BAE=∠CAD B
A,Bより
△BAE∽△CADC
@より
BC:AC=ED:AD
∴BC・AD=AC・EDD
Cより
AB:BE=AC:CD
∴AB・CD=BE・ACE
D+Eより
AB・CD+BC・AD
=AC・ED+AC・BE
=AC(BE+ED)
≧AC・BD
等号が成り立つのは
BD=BE+ED
が成り立つときで,Eが線分BD上にあるときである.




このとき,
∠ABD=∠ACD
であるから,4点A,B,C,Dはこの順に同一円周上にある.
以上の証明より,次の命題が成り立つ.


命題
一直線上のない4点A,B,C,Dについて次が成り立つ.
AB・CD+AD・BC=AC・BD
→4点A,B,C,Dはこの順に同一円周上にある.


この命題の逆も証明しよう.
円に内接する四角形ABCDのBD上に点Eを ∠BAC=∠EADであるようにとる.




このとき
△ABC∽△AED(∵∠A=∠A,∠C=∠D)
よりAC:BC=AD:ED
∴AC・ED=BC・AD@
△ABE∽△ACD(∵∠A=∠A,∠B=∠E)
よりAB:BE=AC:CD
∴AB・CD=AC・BEA
@,Aより
AB・CD+BC・AD=AC・BE+AC・ED=AC・BD
よって,逆も成り立つので,次のトレミーの定理がなりたつことが証明できた.



命題
四角形ABCDについて次が成り立つ.
AB・CD+AD・BC=AC・BD
  ⇔四角形ABCDは円に内接する.



トレミーの定理の応用としていくつか例を挙げましょう.

長方形は,円に内接するので,トレミーの定理より,三平方の定理が成り立ちます.

同じことを等脚台形で考えると

AB・CD+AD・BC=AC・BD
が成り立ち,
もし,∠ABC=2∠ACB なら,BDは∠ABCの二等分線であり,
AB=AD.
したがって,
∠B=2∠Cの△ABCで
AC=AB+AB・BC
が成り立つ.

トレミーの定理の応用として,次の性質を証明しよう.

例題
正7角形の1辺の長さをa,等しくない2本の対角線の長さをb,cとすると
1/a=1/b+1/c
が成り立つ.


証明



正7角形は円に内接するから,
図のように四角形ABCDを考えれば,トレミーの定理より
ab+ac=bc
∴1/a=1/b+1/c



垂足三角形

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