円の性質のまとめここで４点が同一円周上のあるための条件，直線が円の接線になるための条件に注目して 円の性質をまとめておきます．なお，証明は，最後のトレミーの定理以外，すでに学んだページを参考にして下さい． 命題 四角形ABCDで次が成り立つ． 四角形ABCDが円に内接する ⇔∠A＋∠C＝１８０°  命題 四角形ABCDで次が成り立つ． 四角形ABCDが円に内接する ⇔∠A＋∠C＝１８０°@ ⇔∠A＝∠DCF A @を１組の対角の和が１８０°である Aを１つの外角がそれと隣り合う内角の対角に等しい といいます． 接弦定理 円Ｏの弦AB，点Aを通る直線AT，およびABに関してTと反対側の円Ｏの周上に点Cが与えられている． このとき次が成り立つ．  直線ATが円Ｏの接線 ⇔∠BCA＝∠BAT 定理 ２つの線分AB，CDまたはそれらの延長どうしが点Pで交わるとき次が成り立つ． ４点A，B，C，Dが同一円周上にある ⇔ PA・PB＝PC・PDが成り立つ  定理 一直線上にない３点A，B，T，線分ABの延長上の点P，および３点A，B，Tを通る円Ｏについて 次が成り立つ． 直線PTが円Ｏに接する ⇔PA・PB＝PT２が成り立つ．  定理（トレミー） 同一直線上にない４点A,B,C,Dについて AB・CD＋AD・BC≧AC・BD が成り立つ． ただし，等号が成り立つのは，４点A,B,C,Dがこの順に同一円周上にある場合に限る． 証明 ４点A,B,C,Dは同一直線上にないから，少なくとも，同一直線上にない３点が存在し，それをA,B,C とする．  △ABCを頂点Aの周りに∠CADの大きさだけ回転し，AD／ACだけ縮小させた三角形を△AEDとする． このとき △ABC∽△AED@ より AB：AC＝AE：AD ∴ AB：AE＝AC：AD A また ∠BAC=∠EAD より ∠BAE=∠CAD B A，Bより △BAE∽△CADC @より BC：AC=ED：AD ∴BC・AD=AC・EDD Cより AB：BE＝AC：CD ∴AB・CD=BE・ACE D＋Eより AB・CD+BC・AD ＝AC・ED＋AC・BE ＝AC（BE＋ED） ≧AC・BD 等号が成り立つのは BD=BE+ED が成り立つときで，Eが線分BD上にあるときである．  このとき， ∠ABD＝∠ACD であるから，４点A,B,C,Dはこの順に同一円周上にある． 以上の証明より，次の命題が成り立つ． 命題 一直線上のない４点A,B,C,Dについて次が成り立つ． AB・CD＋AD・BC＝AC・BD →４点A,B,C,Dはこの順に同一円周上にある． この命題の逆も証明しよう． 円に内接する四角形ABCDのBD上に点Eを ∠BAC＝∠EADであるようにとる．  このとき △ABC∽△AED（∵∠A=∠A，∠C=∠D) よりAC：BC＝AD:ED ∴AC・ED=BC・AD@ △ABE∽△ACD（∵∠A=∠A，∠B=∠E) よりAB：BE＝AC：CD ∴AB・CD＝AC・BEA @，Aより AB・CD＋BC・AD=AC・BE+AC・ED＝AC・BD よって，逆も成り立つので，次のトレミーの定理がなりたつことが証明できた． 命題 四角形ABCDについて次が成り立つ． AB・CD＋AD・BC＝AC・BD ⇔四角形ABCDは円に内接する． トレミーの定理の応用としていくつか例を挙げましょう． 例 長方形は，円に内接するので，トレミーの定理より，三平方の定理が成り立ちます．  同じことを等脚台形で考えると 
$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$が成り立ち. △ＡＢＣで∠Ｂ＝２∠Ｃのとき ＡＢ＝ＡＤ． より $AC^2=AB^2+AB\cdot BC$ が成り立つ． トレミーの定理の応用として，次の性質を証明しよう． 例題 正７角形の１辺の長さをａ，等しくない２本の対角線の長さをｂ，ｃとすると １／ａ＝１／ｂ＋１／ｃ が成り立つ． 証明  正７角形は円に内接するから， 図のように四角形ABCDを考えれば，トレミーの定理より ａｂ＋ａｃ＝ｂｃ ∴１／ａ＝１／ｂ＋１／ｃ 垂足三角形 目次 |