接弦定理・方べきの定理ここでは，接弦定理，方べきの定理について述べます．まず，接弦定理について学びましょう． 円とその周上に一点Aが与えられたときに成り立つ次の定理です． 接弦定理 円Oの弦AB，点Aを通る直線AT，およびABに関してTと反対側の円Oの周上に点Cが与えられている． このとき次が成り立つ．  直線ATが円Oの接線 ⇔∠BCA＝∠BAT 証明 （→）  AC’を直径とする．このとき ∠C＝∠C’＝９０°−∠BAC’＝∠BAT したがって（→）が成り立つ． さらに， ∠BAT＝∠BCA を満たす直線ATはただ一つであるから逆が成り立ち 定理が成り立つ． 証明の後半部分は同一法を用いた． 次は方べきの定理です． 定理 ２つの線分AB，CDまたはそれらの延長どうしが点Pで交わるとき次が成り立つ． ４点A，B，C，Dが同一円周上にある ⇔ PA・PB＝PC・PDが成り立つ 証明  左図のとき ４点A，B，C，Dが同一円周上 ⇔∠A＝∠D，∠Pは共通 ⇔△PAC∽△PDB ⇔PA：PC＝PD：PB ⇔PA・PB＝PC・PD 右図のときも同様 上の定理の片方の直線が円の接線となった場合が次の定理です． 定理 一直線上にない３点A，B，T，線分ABの延長上の点P，および３点A，B，Tを通る円Oについて 次が成り立つ． 直線PTが円Oに接する ⇔PA・PB＝PT２ が成り立つ 証明 （→）  接弦定理より △PTA∽△PBT ∴PA：PT＝PT：PB ∴PA・PB＝PT２ （←） PTと円OとのT以外の交点をT’とする． 仮定より PA・PB＝PT２ 方べきの定理より PA・PB＝PT・PT’ ∴PT＾２＝PT・PT’ ∴PT＝PT’ したがって，TとT’は一致しPTは円Oの接線ある．  これから，ここでは線分は向きも考え，PA，PBの向きが同じとき PA・PB＞０ としPA，PBの向きが反対のとき PA・PB＜０ とする．すなわち │PA│を線分PAの長さと定めると PA，PBの向きがおなじとき PA・PB＝│PA││PB│ PA，PBの向きが反対のとき PA・PB＝−│PA││PB│ となる．  さて，上で証明した定理より，円Oと点Pがあるとき，Pを 通る任意の直線と円Oとの交点をA，Bとする （接線なら２点とも接点Tと考える）とPA・PBは一定です． このPA・PBの値を点Pの円Oに関するべきまたは方べきといいます． 点Pが円Oの外部にあるとき点Pの円Oのに関するべきは正， 点Pが円Oの周上にあるとき点Pの円Oに関するべきは０， 点Pが円Oの内部にあるとき点Pの円Oのに関するべきは負 になります． 点Pの円Oに関するべきの意味を考えましょう． 点Pが円Oの外部にあるとき， PTを円Oの接線とすると PA・PB＝PT２ ですから， Pから円Oに引いた接線の長さが点Pの円のOに関するべきの値です．  円Oの半径をRとすると PT２＝OP２−R２ ですから 点Pの円Oに関する方べきは OP２−R２ となります． 次にPが円Oの内部にあるとき．  Pを通りOPに垂直な直線を引き円Oとの交点の片方をTとする． このとき，点Pの円Oに関する方べきは −PT２＝−（OT２−OP２） ＝OP２−R２ したがって，点Pの円Oに関する方べきは，Pがどこのにあっても OP２−R２ となります．ただし，Rは円Oの半径です． なお，座標を用いて，円Oの方程式が ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ−ａ）２＋（ｙ−ｂ）２−R２＝０ のとき，点P（ｘ０，ｙ０）の円Oに関する方べきは ｆ（ｘ０，ｙ０） となります． 円の性質のまとめ 目次 |