C
接弦定理・方べきの定理

ここでは,接弦定理,方べきの定理について述べます.
まず,接弦定理について学びましょう.
円とその周上に一点Aが与えられたときに成り立つ次の定理です.

接弦定理
円Oの弦AB,点Aを通る直線AT,およびABに関してTと反対側の円Oの周上に点Cが与えられている.
このとき次が成り立つ.




直線ATが円Oの接線
⇔∠BCA=∠BAT


証明
(→)



AC’を直径とする.このとき
∠C=∠C’=90°−∠BAC’=∠BAT
したがって(⇔)が成り立つ.
さらに,
∠BAT=∠BCA
を満たす直線ATはただ一つであるから, 定理が成り立つ.


証明の後半部分は同一法を用いた.
次は方べきの定理です.

定理
2つの線分AB,CDまたはそれらの延長どうしが点Pで交わるとき次が成り立つ.
4点A,B,C,Dが同一円周上にある
⇔ PA・PB=PC・PDが成り立つ


証明




左図のとき
4点A,B,C,Dが同一円周上
⇔∠A=∠D,∠Pは共通
⇔△PAC∽△PDB
⇔PA:PC=PD:PB
⇔PA・PB=PC・PD


右図のときも同様


上の定理の片方の直線が円の接線となった場合が次の定理です.
定理
一直線上にない3点A,B,T,線分ABの延長上の点P,および3点A,B,Tを通る円Oについて 次が成り立つ.
直線PTが円Oに接する
⇔PA・PB=PT
が成り立つ
証明
(→)



接弦定理より
△PTA∽△PBT
∴PA:PT=PT:PB
∴PA・PB=PT
(←)
PTと円OとのT以外の交点をT’とする.
仮定より
PA・PB=PT
方べきの定理より
PA・PB=PT・PT’
∴PT^2=PT・PT’
∴PT=PT’
したがって,TとT’は一致しPTは円Oの接線ある.




これから,ここでは線分は向きも考え,PA,PBの向きが同じとき
PA・PB>0
としPA,PBの向きが反対のとき
PA・PB<0
とする.すなわち
│PA│を線分PAの長さと定めると
PA,PBの向きがおなじとき
PA・PB=│PA││PB│
PA,PBの向きが反対のとき
PA・PB=−│PA││PB│
となる.




さて,上で証明した定理より,円Oと点Pがあるとき,Pを 通る任意の直線と円Oとの交点をA,Bとする (接線なら2点とも接点Tと考える)とPA・PBは一定です.
このPA・PBの値を点Pの円Oに関するべきまたは方べきといいます.
点Pが円Oの外部にあるとき点Pの円Oのに関するべきは正,
点Pが円Oの周上にあるとき点Pの円Oに関するべきは0,
点Pが円Oの内部にあるとき点Pの円Oのに関するべきは負
になります.

点Pの円Oに関するべきの意味を考えましょう.
点Pが円Oの外部にあるとき,
PTを円Oの接線とすると
PA・PB=PT
ですから, Pから円Oに引いた接線の長さが点Pの円のOに関するべきの値です.



円Oの半径をRとすると
PT=OP−R
ですから 点Pの円Oに関する方べきは
OP−R
となります.
次にPが円Oの内部にあるとき.



Pを通りOPに垂直な直線を引き円Oとの交点の片方をTとする.
このとき,点Pの円Oに関する方べきは
−PT=−(OT−OP
=OP−R
したがって,点Pの円Oに関する方べきは,Pがどこのにあっても
OP−R
となります.ただし,Rは円Oの半径です.
なお,座標を用いて,円Oの方程式が
f(x,y)=(x−a)+(y−b)−R=0
のとき,点P(x,y)の円Oに関する方べきは
f(x,y
となります.



円の性質のまとめ

目次