円に外接する四角形この節では，四角形が円に外接する場合を考えます．ここでは円の接線が出てきますので，円の接線の定義から始めましょう． 定義 円の接線とは円と1点だけを共有する直線のことである． 円の接線については次の性質がよく使われる． 命題 点Tを円O上の点とする．直線ATについて次が成り立つ． ∠ATO＝90° ⇔ 直線ATは円Oの接線 
証明(→)直線AT上のTと異なる点をPとする． △OTPで∠Ｔ=90°であるからOP > OT. したがって，Pは円Oの外部にあり，直線ATと円Oとの共有点はTだけである． (←)背理法を用いる． ∠OTA≠90°とする．Oから直線ATに下した垂線の足をHとする． このとき∠OHT=90° であるから，OT > OH. 
OTは円の半径であるからHは円の内部にある．したがって，直線ATは円の内部を通り，円との共有点は2点である．これは仮定に反する．したがって∠OTA=90°である． これから進める議論の基本となる事柄は次の性質です． 命題 円Oと円外の点Pがある． Pから円Oに２本の接線を引き接点をそれぞれT，Sとする． このとき PT＝PS が成り立つ． 証明 
△OPTと△OPSでPO＝PO ∠T＝∠S＝９０° TO＝ＧO より △OPT≡△OPS ∴PT＝PS 以上で準備が整いました。四角形が円に外接するための必要十分条件は次の通りです。 命題 四角形ABCDが１つの円に外接するための必要十分条件は AB+CD=AD+BC である． 証明 （→） 
四角形ABCDが円Oに外接するとし，辺AB,BC,CD,DAがこの円に接する点をそれぞれP,Q,R,S
とすれば、AP=AS,BP=BQ,CQ=CR,DR=DS 一方 AB=AP+BP,CD=CR+DR, AD=AS+DS,BC=BQ+CQ であるから AB+CD=AD+BC が成り立つ. （←） ∠Bの２等分線と∠Cの２等分線の交点をO，Oを中心とする辺AB,BC,CDに接する円を円Oとし， Aを通る,円OのABと異なる接線をひき,CDとの交点をD’とする． このとき，D'は線分CD上の点（Dを除く）か 点Dと一致するか,CDのDへの延長上の点かのいずれかである． （@）D’がDを除く線分CD上とすると 
AB＋CD＝BC＋AD @AB＋CD’＝BC＋AD’A @−Aより D’D＝AD−AD’ ∴AD’＋D’D＝AD B △AD’DでBは成り立たない(三角形で2辺の和は他の一辺より長い)． （A）D’がCDのDへの延長上にあるとすると 
AB＋CD＝BC＋AD @AB＋CD’＝BC＋AD’A A−@より DD’＝AD’−AD ∴AD＋DD’＝AD’ B △ADD’でBは成り立たない． したがって、CとC'は一致することが証明された． 逆は次の直接証明の方が分かりやすいかもしれない． （逆の別証） AB＋CD＝BC＋AD のとき，ADを最小辺としても一般性は失わない（どれかは最小辺になり，どれを最小辺にしても 同様の証明ができるときこのような表現をする．これは数学で比較的良く用いる表現です）． （@）AB＝ADのとき BC＝CDである． 
このとき，∠Bの二等分線とACとの交点をOとし，Oを中心とする1辺に接する円は他の3辺にも接する．
したがって四角形ABCDに内接する
円が存在する．（A）AB＞ADのとき BC＞CDである． 
ここで，辺AB上に点E，BC上に点FをそれぞれAE＝AD，CF＝CD @ を満たすようにとれば，仮定 AD＋BC＝AB＋CD より AB−AD＝BC−CD ∴BE＝BF A したがって∠A，∠B，∠Cの二等分線はそれぞれ△DEFの辺DE，EF，FD の垂直に等分線であることがわかる． したがって，∠A，∠B，∠Cの二等分線は 一点で交わるので，四角形ABCDは円に外接する． なおこの証明より，四角形ABCDに内接円が存在するとき，その内接円の中心が分かる． すなわち，一番短い辺をADとし，辺AB上に点EをAE＝ADを満たすようにとり， BC上に点FをBE＝BFを満たすようにとれば，△DEFの外心が四角形ABCDの内接円の中心です． 接弦定理・方べきの定理 目次 |