円に外接する四角形

この節では,四角形が円に外接する場合を考えます.
ここでは円の接線が出てきますので,円の接線の定義から始めましょう.

定義
円の接線とは円と1点だけを共有する直線のことである.

円の接線については次の性質がよく使われる.
命題
点Tを円O上の点とする.直線ATについて次が成り立つ.
∠ATO=90° ⇔ 直線ATは円Oの接線


証明
(→)直線AT上のTと異なる点をPとする.
△OTPで∠T=90°であるからOP > OT. したがって,Pは円Oの外部にあり,直線ATと円Oとの共有点はTだけである.


(←)背理法を用いる.
∠OTA≠90°とする.Oから直線ATに下した垂線の足をHとする.
このとき∠OHT=90° であるから,OT > OH.

OTは円の半径であるからHは円の内部にある.したがって,直線ATは円の内部を通り,円との共有点は2点である.
これは仮定に反する.したがって∠OTA=90°である.

これから進める議論の基本となる事柄は次の性質です.

命題
円Oと円外の点Pがある.
Pから円Oに2本の接線を引き接点をそれぞれT,Sとする.
このとき
PT=PS
が成り立つ.

証明
△OPTと△OPSで
PO=PO
∠T=∠S=90°
TO=GO
より
△OPT≡△OPS
∴PT=PS



以上で準備が整いました。四角形が円に外接するための必要十分条件は次の通りです。

命題
四角形ABCDが1つの円に外接するための必要十分条件は
AB+CD=AD+BC
である.

証明
(→)
四角形ABCDが円Oに外接するとし,辺AB,BC,CD,DAがこの円に接する点をそれぞれP,Q,R,S とすれば、
AP=AS,BP=BQ,CQ=CR,DR=DS
一方
AB=AP+BP,CD=CR+DR,
AD=AS+DS,BC=BQ+CQ
であるから
AB+CD=AD+BC
が成り立つ.

(←)
∠Bの2等分線と∠Cの2等分線の交点をO,Oを中心とする辺AB,BC,CDに接する円を円Oとし, Aを通る,円OのABと異なる接線をひき,CDとの交点をD’とする.
このとき,D'は線分CD上の点(Dを除く)か 点Dと一致するか,CDのDへの延長上の点かのいずれかである.
(@)D’がDを除く線分CD上とすると

AB+CD=BC+AD  @
AB+CD’=BC+AD’A
@−Aより
D’D=AD−AD’
∴AD’+D’D=AD B
△AD’DでBは成り立たない(三角形で2辺の和は他の一辺より長い).

(A)D’がCDのDへの延長上にあるとすると

AB+CD=BC+AD  @
AB+CD’=BC+AD’A
A−@より
DD’=AD’−AD
∴AD+DD’=AD’ B
△ADD’でBは成り立たない.
したがって、CとC'は一致することが証明された.

逆は次の直接証明の方が分かりやすいかもしれない.
(逆の別証)
AB+CD=BC+AD
のとき,ADを最小辺としても一般性は失わない(どれかは最小辺になり,どれを最小辺にしても 同様の証明ができるときこのような表現をする.これは数学で比較的良く用いる表現です).
(@)AB=ADのとき
BC=CDである.

このとき,∠Bの二等分線とACとの交点をOとし,Oを中心とする1辺に接する円は他の3辺にも接する. したがって四角形ABCDに内接する 円が存在する.

(A)AB>ADのとき
BC>CDである.

ここで,辺AB上に点E,BC上に点Fをそれぞれ
AE=AD,CF=CD @
を満たすようにとれば,仮定
AD+BC=AB+CD
より
AB−AD=BC−CD
∴BE=BF A
したがって∠A,∠B,∠Cの二等分線はそれぞれ△DEFの辺DE,EF,FD の垂直に等分線であることがわかる.
したがって,∠A,∠B,∠Cの二等分線は 一点で交わるので,四角形ABCDは円に外接する.

なおこの証明より,四角形ABCDに内接円が存在するとき,その内接円の中心が分かる.
すなわち,一番短い辺をADとし,辺AB上に点EをAE=ADを満たすようにとり, BC上に点FをBE=BFを満たすようにとれば,△DEFの外心が四角形ABCDの内接円の中心です.



接弦定理・方べきの定理

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