3.三角形の合同
これまで,三角形の外心,内心を扱ってきましたが,その中で,三角形の合同を 利用してきました.ここでは,三角形の合同について丁寧に学びましょう.
まず,合同の意味について確認しましょう.
2つの図形SとS’が合同であるとは,「片方をずらしたり裏返したりしてもう一方にぴったり 重ねることができる」ということです.重ね合わせた,重なる頂点を対応する頂点,重なる辺を対応 する辺といいます.なお図形Sと図形S’が合同のとき記号≡を用いてS≡S’と表します.
例えば,△ABCと△DEFが合同のとき,△ABC≡△DEFと表します.



なお,△ABC≡△DEF と書いたときは出来るだけAとD,BとE,CとFが対応するようにしましょう. なぜなら,対応する辺が分かりやすいからです.
2つの三角形△ABC,△DEFが合同になるための条件を調べましょう. すべての角の大きさ,辺の長さが等しければ,すなわち,
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
AB=DE,BC=EF,CA=FA
が成り立てば△ABC≡△DEFが成り立ちます. 問題は上の6条件をどれだけ減らせるかです.
まず,角について考えましょう. 三角形の内角の和が180°で一定ですから,2角が等しければ,3角がそれぞれ等しいといえます, そこで△ABCと△DEFで ∠B=∠E,∠C=∠F が成り立つとき,さらに辺の長さについての BC=EF が成り立てば,辺BCと辺EFを重ねることにより,△ABCと△DEFがぴったり重なります.



したがって,△ABC≡△DEFが成り立ちます.この合同になるための条件(これを合同条件という)を
1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
といいます.
次に1つの角が等しい場合を考えましょう. ∠B=∠Eのとき,頂点Bと頂点Eを重ねればAB=DE,BC=EFであればぴったり重なります.



したがって,△ABC≡△DEFが成り立ちます. この合同条件を
2辺とその間の角がそれぞれ等しい
といいます.
最後に合同条件に角を含まない場合を考えましょう.
AB=DE,BC=EF,CA=FA のとき,△DEFを辺EFを定め,Eを中心とする半径ABの円とFを中心とする 半径CAの円を動き,2円の交点をDとすれば△ABCと△DEFはぴったり重なります,



したがって,△ABC≡△DEFが成り立ちます.この合同になるための条件を
3辺がそれぞれ等しい
といいます.
三角形の合同条件は基本的には以上の3つです.

次に直角三角形の合同条件を扱いましょう.
結論から書きます.直角三角形の合同条件は上に挙げた3つ以外に2つあり1つは

斜辺と他の1鋭角がそれぞれ等しい
であり,もう1つは
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
です.
直角三角形の合同条件が実際に合同条件になることを確認しましょう.
斜辺と他の1鋭角がそれぞれ等しい
については,三角形の内角の和が180°より,斜辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, 合同になります.



次に
斜辺と他の1鋭角がそれぞれ等しい
です.これはちょっと注意が必要です. △ABCと△DEFで ∠C=∠F=90°とします. AB=DE,AC=DF が成り立つとき考えましょう.



辺ACと辺DFを重ねると,∠Cと∠Fはともに90°ですから,3点B,C(F),Eは一直線に なるので,△ABEができます.△ABEは仮定よりAB=AEの2等辺三角形です, 辺BEの中点をMとすると



△ABMと△AEMは3辺がそれぞれ等しいから△ABM≡△AEMとなるます. したがって∠B=∠Eが成り立ちます.斜辺と1鋭角がそれぞれ等しいので,すでに 証明したことを用いて,△ABC≡△DEFが示せました.
以上で,直角三角形の合同条件が証明できました.

四角形の合同条件は考えないのかという質問をよく受けますが,もちろん四角形の場合も 考えることは可能です,例えば
3辺とその間の2角がそれぞれ等しい
は四角形の合同条件です.しかしこれを考えてどれだけ役に立つかを考えると,覚える労力に 見合った益が少ないから一般的にならないのです.さらに,もっと重要なことは, 四角形の合同はとても間違えやすいのです.
例えば,長方形を考えると,角はすべて直角ですがいろいろな形があります.



一般の四角形でも,上の図で,ADEFのとき四角形ABCDと四角形EBCF の内角はそれぞれ等しくBC−BCですが,形はまったく異なります.このように四角形以上の多角形 では間違いやすい内容を含んでいることが,四角形や多角形の合同条件をあまり考えない理由です.

次回は両意の合同すなわち,条件を満たす三角形が2種類ある場合を学びます.

両意の合同

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