3．三角形の合同

これまで，三角形の外心，内心を扱ってきましたが，その中で，三角形の合同を 利用してきました．ここでは，三角形の合同について学びます．
まず，合同の意味について確認しましょう．
２つの図形SとS’が合同であるとは，
「片方をずらしたり裏返したりしてもう一方に 重ねることができる」
ということです．重ね合わせたとき重なる頂点を対応する頂点，重なる辺を対応 する辺といいます．なお図形Sと図形S’が合同のとき記号≡を用いてS≡S’と表します．
例えば，△ABCと△DEFが合同のとき，△ABC≡△DEFと表します．



なお，△ABC≡△DEF と書いたときは出来るだけAとD，BとE，CとFが対応するようにしましょう． なぜなら，対応する辺が分かりやすいからです．
２つの三角形△ABC，△DEFが合同になるための条件を調べましょう． すべての角の大きさ，辺の長さが等しければ，すなわち，
∠A＝∠D,∠B＝∠E,∠C＝∠F
AB＝DE,BC＝EF,CA＝FA
が成り立てば△ABC≡△DEFが成り立ちます． 問題は上の６条件をどれだけ減らせるかです．
まず，角について考えましょう． 三角形の内角の和が１８０°で一定ですから，２角が等しければ，３角がそれぞれ等しいといえます， そこで△ABCと△DEFで ∠B＝∠E，∠C＝∠F が成り立つとき，さらに辺の長さについての BC＝EF が成り立てば，辺BCと辺EFを重ねることにより，△ABCと△DEFがぴったり重なります．



したがって，△ABC≡△DEFが成り立ちます．この合同になるための条件（これを合同条件という）を
１辺とその両端の角がそれぞれ等しい
といいます．
次に１つの角が等しい場合を考えましょう． ∠B＝∠Eのとき，頂点Bと頂点Eを重ねればAB＝DE，BC＝EFであればぴったり重なります．



したがって，△ABC≡△DEFが成り立ちます． この合同条件を
２辺とその間の角がそれぞれ等しい
といいます．
最後に合同条件に角を含まない場合を考えましょう．
AB＝DE,BC＝EF,CA＝FA のとき，△DEFを辺EFを定め，Eを中心とする半径ABの円とFを中心とする 半径CAの円を動き，２円の交点をDとすれば△ABCと△DEFはぴったり重なります，



したがって，△ABC≡△DEFが成り立ちます．この合同になるための条件を
３辺がそれぞれ等しい
といいます．
三角形の合同条件は基本的には以上の３つです．

次に直角三角形の合同条件を扱いましょう．
結論から書きます．直角三角形の合同条件は上に挙げた３つ以外に２つあり１つは

斜辺と１鋭角がそれぞれ等しい
であり，もう１つは
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
です．
直角三角形の合同条件が実際に合同条件になることを確認しましょう．
斜辺と１鋭角がそれぞれ等しい
については，三角形の内角の和が１８０°より，斜辺とその両端の角がそれぞれ等しいので， 合同になります．



次に
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
です．これはちょっと注意が必要です． △ABCと△DEFで ∠C＝∠F＝９０°とします． AB＝DE，AC＝DF が成り立つとき考えましょう．



辺ACと辺DFを上図のように重ねると，∠Cと∠Fはともに９０°ですから，３点B，C（F），Eは一直線に なるので，△ABEができます．△ABEは仮定よりAB＝AEの２等辺三角形です， 辺BEの中点をＭとすると



△ABＭと△AEＭは３辺がそれぞれ等しいから△ABＭ≡△AEＭとなります． したがって∠B＝∠Eが成り立ちます．斜辺と１鋭角がそれぞれ等しいので，すでに 証明したことを用いて，△ABC≡△DEFが示せました．
以上で，直角三角形の合同条件が証明できました．

四角形の合同条件は考えないのかという質問をよく受けますが，もちろん四角形の場合も 考えることは可能です，例えば
３辺とその間の2角がそれぞれ等しい
は四角形の合同条件です．しかしこれを考えてどれだけ役に立つかを考えると，覚える労力に 見合った益が少ないから一般的にならないのです．さらに，もっと重要なことは， 四角形の合同はとても間違えやすいのです．
例えば，長方形を考えると，角はすべて直角ですがいろいろな形があります．



一般の四角形でも，上の図で，AD‖EFのとき四角形ABCDと四角形EBCF の内角はそれぞれ等しくBC=BCですが，形はまったく異なります．このように四角形以上の多角形 では間違いやすい内容を含んでいることが，四角形や多角形の合同条件をあまり考えない理由です．


さて話を戻し，三角形の合同条件
1.２辺とその間の角がそれぞれ等しい
2.３辺がそれぞれ等しい
3.１辺とその両端の角がそれぞれ等しい
がこれからの議論の土台になります．
これらの内容について成り立つことの説明はしましたが， 証明としては不十分．実際たとえば
3.１辺とその両端の角がそれぞれ等しい
の証明は
△ABCと△DEFで
∠B＝∠E，∠C＝∠F
が成り立つとき，さらに辺の長さについての
BC＝EF
が成り立てば，辺BCと辺EFを重ねることにより， △ABCと△DEFがぴったり重なります．
としていますが他に条件を満たす△DEFがないことを示す必要があります．
三角形の合同条件について，厳密性にこだわりましょう．厳密に証明するには， 使ってよい性質を明確にする必要があります．

ユークリッド原論では三角形の合同の定理1,2,3をどのように証明 しているかを紹介します．
なお，ユークリッド原論（以下原論と呼ぶ）の内容は
中村幸四郎・寺阪英孝・伊東俊太郎・池田美恵　訳・解説，
ユークリッド原論，　　　共立出版，1996
を用いました．

原論において
1.２辺とその間の角がそれぞれ等しい
は第４命題．
2.３辺がそれぞれ等しい
は第８命題．
3.１辺とその両端の角がそれぞれ等しい
は第２６命題です．

それでは原論の証明を見ていきます．なお，内容は大分書き直しました． 原文は上記の書をご覧ください．
原論第４命題
$\triangle ABC$と$\triangle DEF$で
$AB=DE,AC=DF,\angle A=\angle D \Longrightarrow \triangle ABC\equiv \triangle DEF$
証明
$\triangle ABC$と$\triangle DEF$で$AB=DE$であるから辺$AB$と辺$DE$を 重ねることができる．
さらに$\angle A=\angle D$でありさらに$AC=DF$より，同時に辺$AC$と辺$DF$ も重なる．
このとき，もし辺$BC$と辺$EF$が重ならないとすると２線分$BC,EF$が囲む図形が面積を もつことになり，公理９に反する．したがって，２辺$BC,EF$も重なり， $\triangle ABC$と$\triangle DEF$は重なり$\triangle ABC\equiv \triangle DEF$ の証明が終了した．

命題の証明のときある性質を用いるとき，その性質は証明しておかなければならない． 永遠に繰り返すことはできないので，証明なしで成立を認めることが必要である．それを公理という．
原論では，２３個の定義，５個の公準， ９個の公理を認めたうえで議論が展開している．
第4命題の証明で用いた公理は
第9公理　２線分は面積をかこまない
である．

次に第8命題の証明を見てみよう．
原論第8命題
$\triangle ABC$と$\triangle DEF$で
$AB=DE,BC=FG,CA=GE \Longrightarrow \triangle ABC\equiv \triangle DEF$

原論では第8命題の証明の前に次の命題を証明している．

原論第7命題
$\triangle ABC$と直線$BC$に関して頂点$A$と同じ側に点$D$がある．このとき
$AB=DB,AC=DC\Longrightarrow A$と$D$は同じ点．
証明
背理法で示す．
２点$A,D$が異なると仮定する．
このとき，$BA=BD$であるから
$\angle BAD=\angle BDA$(∵原論第5命題で証明済み) したがって
$\angle CAD < \angle BAD= \angle BDA < \angle CDA$
一方$AC=DC$より
$\angle CAD=\angle CDA$
であるから矛盾．したがって$A,D$は同じ点である．


原論第8命題の証明
$BC=EF$であるから，$\triangle ABC$と$\triangle DEF$ を直線$BC$に関して2点$A,D$が同じ側にあるように重ねることができる．
$AB=DF,AC=DF$
であるから原論第7命題より，$A$と$D$は重なる．
したがって$\triangle ABC\equiv \triangle DEF$が証明された．

残されたのは次の命題です．
原論第26命題
$\triangle ABC$と$\triangle DEF$で
$BC=EF,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F \Longrightarrow \triangle ABC\equiv \triangle DEF$


証明
$AB=DE$を証明すれば，第４命題より証明が終了する．
背理法を用いる．
$AB\neq DE$と仮定する．このとき，$AB,DE$のいずれかが大きいから$AB > DE$とする．
$AB$上の点$G$を$BG=ED$を満たすようにとる．
このとき第４命題より
$\triangle GBC\equiv \triangle DEF$
したがって，
$\angle GCB=\angle DFE$
これは
$\angle ACB=\angle DFE$
に矛盾する．したがって$AB=DE$が証明された．


両意の合同

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