9点円の応用
ここでは,次の問題を9点円を利用して解いてみましょう.

例題 △ABCの内接円の半径をr,外接円の半径をRとする.このとき
R≧2r
が成り立つ.


△ABCを与えたとき,△ABCが中点三角形(三角形の各辺の中点よりなる三角形を中点三角形 という)である三角形を△PQRとします.作り方は, △ABCの頂点Aを通り辺BCに平行な直線, 頂点Bを通り辺CAに平行な直線,頂点Cを通り辺ABに平行な直線を 引き交点を図のようにP,Q,Rとします.



△ABCは△PQRの中点三角形です.△ABCの内接円の半径をrとすると, △PQRと△ABCの相似比は2:1ですから,△PQRの内接円の半径は2rです. したがって,△ABCの外接円と,△PQRの内接円の大小を調べる問題になりました. △ABCの外接円が内接円となる三角形が△XYZです. ここで,△ABCの外接円は△PQRの各辺の中点を通る円すなわち△PQR の9点円であることに注意しましょう.
△PQRの9点円は三辺PQ,QR,RPに接するか,外に出るかですから, △ABCの外接円を内接円と する△XYZは△PQRを含みます.
したがって,△PQR∽△XYZで△XYZの方が△PQRより大きいので R≧2rが示せました.
また,等号が成り立つのは,△XYZと△PQRが一致するときで, △PQRで頂点から対辺に下ろした垂線の 足と対辺の中点が一致するときです.
したがって,△PQRが正三角形のとき,すなわち△ABCが正三角形と結論できました.


上の例題は次の定理より簡単に導き出すことができます.

定理1
△ABCの外接円の半径R,内接円の半径r,外心,内心2点間の距離をdとする. このとき
d=R−2Rr
が成り立つ.


証明 




上の図を説明します. O,Iは△ABCの外心,内心.直線OIと外接円との交点をE,F, IからACに下した垂線の足がH,∠Aの2等分線と外接円との交点がD, さらに,DOと外接円との交点がGとなっています.
このとき,次の等式が成り立ちます.
IE・IF=(R+d)(R−d)
一方 IE・IF=IA・ID
        =IA・DC 
 (∵DI=DC=DBがなりたつ.証明は後で)
        =DG・IH  (△AIH∽△KDC)
        =2R・r
∴R2-d2=2R・r
あとは証明で使ったDI=DC=DBの証明ですが,つぎの図より 読みとってください.∠Aの2等分線と外接円の交点がDです.



以上で証明が終了しました.この定理を用いれば,上の例題は
d=R−2Rr
より,d≧0ですから R≧2rが成り立ち,等号が成り立つのは外心と内心が一致するときすなわち, 正三角形のときということが分かりました.

定理をもう一度見直してみましょう. 定理の結論の式は,
d=R−2Rr
2円の半径と中心間の距離だけで三角形の条件はありません,△ABCの外接円をO,内接円をIとするとき, 円Oに内接し,円Iに外接する三角形が他にあるのかどうかが興味ありませんか. それに対する答えは次です.

定理2
2円O,Iがあるとき,円Oに内接し円Iに外接する三角形が1つ存在するとき,このような三角形 は無数に存在する.




証明
円Oに内接し,円Iに外接する三角形を△ABCとする.円Oの周上に任意の点Pをとる. 直線PIの延長と円Oとの交点をTとし,Tを中心とする点Iを通る円を書き円Oとの交点を Q,Rとする.
このとき,△PQRにおいて TQ=TRよりPIは∠Pの2等分線.
∠Q=∠PTR(円Oの円周角)
∠IQR=∠ITR/2 (円Tの円周角と中心角)
よってQIは∠Qの2等分線. したがって,Iは△PQRの内心.
△PQRの内接円の半径をr’とする.
すでに示した定理1より,

d=R−2Rr’
△ABCに関しては

d=R−2Rr
∴ r=r’
ゆえに,△PQRの内接円は円Iである.
Pは円O上の任意の点であるから,円Oに内接し,円Iに外接する三角形が無数に 存在することが証明された.

証明より, 円Oの周上の任意の点を頂点とする,条件を 満たす三角形が存在することがわかる.

定理2が定理1を利用して証明しているが,定理2が定理1を用いない独自で証明できたとすれば, 定理1の結果は次のように簡単な場合で計算すればよい.




△ABCの頂点Aを直線OI上にとった図です.
方べきの定理より
DC2=(R+d+r)(R-d-r).
AC2=(R+d+r)2+(R+d+r)(R-d-r) =2R(R+d+r).
∴ AC2/DC2
=2R/(R-d-r)
一方
AI2/IE2=(R+d)2/r2
∴ 2R/(R-d-r)=(R+d)2/r2
分母を払って計算すると
2Rr2+(R+D)2r-(R-d)(R+d)2=0
{2Rr-(R-d)(R+d)}(r+R+d)=0
したがって
d2=R2-2Rr
を得る.


円周角

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