９点円の応用

ここでは，次の問題を９点円を利用して解いてみましょう．

例題　△ABCの内接円の半径をｒ，外接円の半径をRとする．このとき
R≧２ｒ
が成り立つ．

△ABCを与えたとき，△ABCが中点三角形（三角形の各辺の中点よりなる三角形を中点三角形 という）である三角形を△PQRとします．
作り方は， △ABCの頂点Aを通り辺BCに平行な直線， 頂点Bを通り辺CAに平行な直線，頂点Cを通り辺ABに平行な直線を 引き交点を図のようにP，Q，Rとします．



△ABCは△PQRの中点三角形です．
△ABCの内接円の半径をｒとすると， △PQRと△ABCの相似比は２：１ですから，△PQRの内接円の半径は２ｒです．
したがって，△ABCの外接円と，△PQRの内接円の大小を調べる問題になりました．
△ABCの外接円が内接円となる三角形△XYZを図のように各辺が△PQRの 各辺と平行であるようにつくる．
ここで，△ABCの外接円は△PQRの各辺の中点を通る円すなわち△PQR の９点円であることに注意しましょう．
△PQRの９点円は三辺PQ，QR，RPに接するか，外に出るかですから， △ABCの外接円を内接円と する△XYZは△PQRを含みます．
したがって，
△PQR∽△XYZ
で△XYZの方が△PQRより大きいので R≧２ｒが示せました．
また，等号が成り立つのは，△XYZと△PQRが一致するときで， △PQRで頂点から対辺に下ろした垂線の 足と対辺の中点が一致するときです．
したがって，△PQRが正三角形のとき，すなわち△ABCが正三角形と結論できました．


上の例題は次の定理より簡単に導き出すことができます．

定理１
△ABCの外接円の半径R，内接円の半径ｒ，外心，内心２点間の距離をdとする．
このとき
d２＝R２−２Rｒ
が成り立つ．

証明　




上の図を説明します. O，Iは△ABCの外心，内心．直線OIと外接円との交点をE，F， IからACに下した垂線の足がH，∠Aの２等分線と外接円との交点がD， さらに，DOと外接円との交点がGとなっています．
このとき，次の等式が成り立ちます．
IE・IF＝（R＋d）（R−d）
一方　IE・IF＝IA・ID
　　　　　　　　＝IA・DC　
　（∵DI＝DC＝DBがなりたつ．証明は後で）
　　　　　　　　＝DG・IH　　（△AIH∽△GDC）
　　　　　　　　＝２R・ｒ
∴R2-d2=2R・r
あとは証明で使ったDI＝DC＝DBの証明ですが，つぎの図より 読みとってください．∠Aの２等分線と外接円の交点がDです．



以上で証明が終了しました．この定理を用いれば，上の例題は
d２＝R２−２Rｒ
より，d２≧０ですから R≧２ｒが成り立ち，等号が成り立つのは外心と内心が一致するときすなわち， 正三角形のときということが分かりました．

定理をもう一度見直してみましょう．
定理の結論の式は，
d２＝R２−２Rｒ
２円の半径と中心間の距離だけで三角形の条件はありません，
△ABCの外接円をO，内接円をIとするとき， 円Oに内接し，円Iに外接する三角形が他にあるのかどうかが興味ありませんか．
それに対する答えは次です．

定理２
２円O，Iがあるとき，円Oに内接し円Iに外接する三角形が１つ存在するとき，このような三角形 は無数に存在する．



証明
円Oに内接し，円Iに外接する三角形を△ABCとする．
円Oの周上に任意の点Pをとる．
直線PIの延長と円Oとの交点をＴとし，Ｔを中心とする点Iを通る円を書き円Oとの交点を Q，Rとする．
このとき，△PQRにおいて TQ＝TRよりPIは∠Pの２等分線．
∠Q＝∠PＴR（円Oの円周角）
∠IQR＝∠IＴR／２ （円Ｔの円周角と中心角）
よってQIは∠Qの２等分線． したがって，Iは△PQRの内心．
△PQRの内接円の半径をｒ’とする．
すでに示した定理１より，
d２＝R２−２Rｒ’
△ABCに関しては
d２＝R２−２Rｒ
∴　ｒ＝ｒ’
ゆえに，△PQRの内接円は円Iである．
Pは円O上の任意の点であるから，円Oに内接し，円Iに外接する三角形が無数に 存在することが証明された．

証明より， 円Oの周上の任意の点を頂点とする，条件を 満たす三角形が存在することがわかる．

定理２が定理１を利用して証明しているが，定理２が定理１を用いない独自で証明できたとすれば， 定理１の結果は次のように簡単な場合で計算すればよい．




△ABCの頂点Aを直線OI上にとった図です．
方べきの定理より
DC2=(R+d+r)(R-d-r)．
三平方の定理より
AC2=(R+d+r)2+(R+d+r)(R-d-r) =2R(R+d+r)．
∴　AC2/DC2
=2R/(R-d-r)
一方
AI2/IE2=(R+d)2/r2
∴　2R/(R-d-r)=(R+d)2/r2
分母を払って計算すると
2Rr2+(R+d)2r-(R-d)(R+d)2=0
{2Rr-(R-d)(R+d)}(r+R+d)=0
したがって
d2=R2-2Rr
を得る．


円周角

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