三角形の９点円こでは，三角形の９点円を扱います．まず，９点円がどのような円であるかきちんと書いておきます． 定理（９点円） △ABCの３辺BC，CA，ABの中点をそれぞれD，E，F，各頂点A，B，Cから 対辺に下した垂線の足をそれぞれL，M，N，さらにHを△ABCの垂心とし線分AH，BH，CH の中点をそれぞれP，Q，Rとする． このとき，９個の点D，E，F，L，M，N，P，Q，R は同一円周上にある．  この円を△ABCの９点円といいます．証明の中で分かりますが，９点円は中心は△ABCの外心O，垂心Hの中点，半径は△ABCの 外接円の半径Rの半分R／２です． ここでも，相似の位置を利用して証明を行います． 証明の方針は △DEF，△LMN，△PQRのいずれの外接円も半径がR／２（Rは△ABCの 外接円の半径)中心が線分OHの中点 を示すことです．  △DEFから始めましょう． △ABCと△DEFは相似の位置にあり，相似の中心は重心G， 相似比は−１／２です． したがって,△DEFの外接円の半径はR／２， △DEFの外心O’はGに関してOと反対側にありかつ GO：GO’＝２：１ です． 一方，オイラー線の性質より OG：GH＝１：２ ですから O’は線分OHの中点であることがわかります． 必要なら，図の左上の線分を利用しましょう． 次は△PQRです．これはわかりやすい．  P，Q，Rはそれぞれ線分AH，BH，CHの中点ですから △ABCと△PQRは相似の位置にあり，相似の中心はH，相似比は1／２． したがって，△PQRの外心は線分HOの中点，半径R／２です． 最後は△LMNです． これは，△LMNと△ABCを見比べるとわかるように この２つの三角形は相似ではありません．  ALの延長，BMの延長，CNの延長と△ABCの外接円との交点をそれぞれX，Y，Zとし， △ABCの外接円を△XYZの外接円として考えます． これなら，△LMNの外接円も考えやすくなります． 上の図で△LMNと△XYZが相似の位置にあることを示して証明します． 点Lが線分HXの中点を示せばよい． ∠XBC＝∠XAC (∵ 弧XCの円周角） ＝∠YBC (∵ ∠Cの余角） さらに，HX⊥BCよりHL＝XLが示せました． 他も同様に考えることにより△XYZと△LMNは相似の位置にあり， 相似の中心はHです． したがって，△LMNの外接円の半径はR／２，中心が線分OHの中点であることがわかりました． 以上で，９個の点が同一円周上にあることの証明が終了しました． ９点が同一円周上にある証明はたくさんあります． その中で， 次の方法がわかりやすいように思います． 次の図を見てください． ２つの長方形と∠DLA＝９０°であることを利用して 証明します．  まず，四角形QDEPが長方形であることを示しましょう． 辺PQ，EDはともにABと平行で長さが１／２． (辺PE，QDはともにHCに平行で長さが１／２) したがって，四角形QDEPは平行四辺形． さらにAB⊥HC． したがって，四角形QDEPは長方形． よって，４点Q，D，E，Pは線分QEが直径である円周上にあります． 四角形FQREはAH，BCに注目することにより同様に長方形 であることが示せ，やはり４点F，Q，R，Eも線分QEが直径である円周上にあります． したがって，６点F，Q，D，R，E，Pは同一円周上にあることが分かりました． 残りのL，M，Nを調べましょう． Lについてみれば， ∠DLP＝９０°， ∠DQP＝９０° より，４点L，P，Q，Dは同一円周上ににあり，その円は ３点P，Q，Dを含むので，上の６点を通る円と一致する． M，Nも同様であるので，９点が同一円周上のあることが分かりました．
(以下平成31年１月に追加しました) |
9点円を複素数で証明しよう．