三角形の9点円

ここでは,三角形の9点円を扱います.
まず,9点円がどのような円であるかきちんと書いておきます.

定理(9点円)
△ABCの3辺BC,CA,ABの中点をそれぞれD,E,F,各頂点A,B,Cから 対辺に下した垂線の足をそれぞれL,M,N,さらにHを△ABCの垂心とし線分AH,BH,CH の中点をそれぞれP,Q,Rとする.
このとき,9個の点D,E,F,L,M,N,P,Q,R は同一円周上にある.






この円を△ABCの9点円といいます.証明の中で分かりますが,9点円は中心は△ABCの外心O,垂心Hの中点,半径は△ABCの 外接円の半径Rの半分R/2です.


ここでも,相似の位置を利用して証明を行います.
証明の方針は
△DEF,△LMN,△PQRのいずれの外接円も半径がR/2(Rは△ABCの 外接円の半径)中心が線分OHの中点
を示すことです.




△DEFから始めましょう.
△ABCと△DEFは相似の位置にあり,相似の中心は重心G, 相似比は−1/2です.
したがって,△DEFの外接円の半径はR/2,
△DEFの外心O’はGに関してOと反対側にありかつ
GO:GO’=2:1
です.
一方,オイラー線の性質より
OG:GH=1:2
ですから O’は線分OHの中点であることがわかります.
必要なら,図の左上の線分を利用しましょう.

次は△PQRです.これはわかりやすいです.




P,Q,Rはそれぞれ線分AH,BH,CHの中点ですから △ABCと△PQRは相似の位置にあり,相似の中心はH,相似比は1/2.
したがって,△PQRの外心は線分HOの中点,半径R/2です.

最後は△LMNです.
これは,△LMNと△ABCを見比べるとわかるように この2つの三角形は相似ではありません.





ALの延長,BMの延長,CNの延長と△ABCの外接円との交点をそれぞれX,Y,Zとし, △ABCの外接円を△XYZの外接円として考えます.
これなら,△LMNの外接円も考えやすくなります.

上の図で△LMNと△XYZが相似の位置にあることを示して証明します.
点Lが線分HXの中点を示せばよい.
∠XBC=∠XAC 
(弧XCの円周角)
=∠YBC 
(∠Cの余角)  
  さらに,HX⊥BCよりHL=HLが示せました.
他も同様に考えることにより△XYZと△LMNは相似の位置にあり, 相似の中心はHです.
したがって,△LMNの外接円の半径はR/2,中心が  線分OHの中点であることがわかりました.
以上で,9個の点が同一円周上にあることの証明が終了しました.


9点が同一円周上にある証明はたくさんあり,相似の位置を用いない方法が一般的です.
その中で, 次の方法が一番わかりやすいように思います.
次の図を見てください.
2つの長方形と∠DLA=90°であることを利用して 証明します.



まず,四角形QDEPに関して示しましょう.
辺PQ,EDはともにABと平行で長さが1/2.
(辺PE,QDはともにHCに平行で長さが1/2)
したがって,四角形QDEPは平行四辺形.
さらにAB⊥HR.
したがって,四角形QDEPは長方形.
よって,4点Q,D,E,Pは線分QEが直径である円周上にあります.
四角形FQREはAH,BCに注目することにより同様に長方形 であることが示せ,やはり4点F,Q,R,Eも線分QEが直径である円周上にあります.
したがって,6点F,Q,D,R,E,Pは同一円周上にあることが分かりました.
残りのL,M,Nを調べましょう.
Lについてみれば,
∠DLP=90°,
∠DQP=90°
より,4点L,P,Q,Dは同一円周上ににあり,その円は 3点P,Q,Dを含むので,上の6点を通る円と一致する.
M,Nも同様であるので,9点が同一円周上のあることが分かりました.

9点円の応用

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