三角形のオイラー線

ここでは,相似の位置の応用として,三角形のオイラー線と9点円を扱います.
オイラー線,9点円に関してはいろいろな証明がありますが,相似の位置を利用するのは,もっとも 分かりやすい証明の1つです.

まず,三角形のオイラー線の定理を述べます.

定理(三角形のオイラー線)
△ABCの外心O,重心G,垂心Hはこの順に一直線上にあり
GO:GH=1:2
が成り立つ.






△ABCの外心,重心,垂心を通る直線を△ABCのオイラー線といいます.
次の図を見てください.




D,E,Fは△ABCの3辺BC,CA,ABの中点です.
点G,O,Hはそれぞれ△ABCの重心,外心,垂心です.

図より次の3点が分かります.
1.△ABCと△DEFは相似の位置にあり,相似の中心はG, 相似比は−1/2です.
これは,Gが△ABCの重心ですから,
GA:GD
=GB:GE
=GC:GF
=2:1
が成り立つからです.

2.△ABCの辺の垂直2等分線は,△DEFで考えると, 頂点から対辺に下した垂線です.
(辺BCの垂直2等分線は△DEFで考えると,頂点Dから対辺 に引いた垂線です)

3.△ABCの外心Oと△DEFの垂心は一致します.

以上のことより,△ABCの垂心H,△ABCの重心G,△DEFの垂心O すなわち△ABCの外心Oはこの順に一直線上にありGO:GH=1:2が成り立ちます.

上の性質3は,三角形の頂点から対辺に引いた垂線が一点で交わる証明で一度使っています.
その確認もかねて,三角形の垂心の復習もしておきましょう.

定義
△ABCの各頂点から対辺に下ろした垂線AJ,BK,CLは1点で交わり, この交点Hを△ABCの垂心という.









△ABCの頂点Aを通り辺BCに平行な直線, 頂点Bを通り辺CAに平行な直線,頂点Cを通り辺ABに平行な直線を 引き交点を図のようにP,Q,Rとします.
このとき四角形ABCQ,RBCAはともに 平行四辺形ですから,頂点Aは線分RQの中点になります.
同様にB,CはそれぞれRP,PQの中点です.
RQBCより,AかBCに引いた垂線は三角形PQRで考えると 辺RQの垂直2等分線です.
同様に,BからACに引いた垂線は辺RP の垂直2等分線,CからABに引いた垂線は辺PQの2等分線です.
△PQRの各辺の垂直2等分線は1点で交わるから,△ABCで各頂点から 対辺に引いた垂線は1点で交わります.




三角形の9点円

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