相似の位置

ここから，数回相似変換を中心に扱います．相似は平面図形の中で， 豊富な内容を含む分野の一つです．しかし，案外扱いづらく， 中学生，高校生に相似に関する出題をすると，合同の問題に比べて 極端にできなくなります．また，相似は図形に対する洞察力をはかるのに適した内容で，難関高校の入試問題の花形となっています．
国際数学オリンピックでも似た傾向があり，相似を含む変換についての出題が 多いのに驚きます．この機会に系統だって相似を学んでいきましょう．


本題に入ります． 定点Ｏと定数ｋが与えられているとき， ある図形上の各点Ｐに対して，直線ＯＰ上の点Ｐ’を ＯＰ’＝ｋＯＰ を満たすようにとる．ただし，ＯＰとＯＰ’は線分の向きを考え，

ｋ＞０のときＯＰとＯＰ’は同じ向き，
ｋ＜０のときＯＰとＯＰ’は反対向き
ｋ＝０のときＰ’とＯは一致する
とする．
このとき，点ＰをＰ’にうつす変換をＯを中心とする，相似比ｋの相似変換といい
Ｔ（Ｏ，ｋ）
と表す．

相似変換Ｔ（Ｏ，ｋ）によって，図形Ａが図形Ｂにうつるとき，
図形Ａと図形Ｂは相似の位置にあるといい，Ｏを相似の中心，ｋを相似比
といいます．

ここで中学では相似をどのように定義したかを見てみましょう．
「１つの図形を一定の割合に拡大または縮小した図形は元の図形と相似である」
とこのように定義しました．拡大，縮小の定義があいまいです．言い方を変えれば，拡大，縮小を きちんと定義する必要があります．
中学生に教えれるときは，この定義でも問題ないでしょうが， きちんと議論するためには相似の定義を変える必要があります．
相似の定義は次のようにするのが一般的です．

定義
　２つの図形が相似の位置にあるか，または一方を移動（裏返しても良い）して相似の位置に置くことができると きこの２つの図形は相似であるという．

これから，相似の位置にある２つの図形の性質を調べていきます．
次の命題は定義そのものですが，これから頻繁に使われます．
命題
　 ２つの図形Ａ，ＢがＯを中心とする，相似比ｋの相似の位置にあるとき， 図形Ａ上の点ＰとＰに対応する図形Ｂ上の点Ｐ’は次の性質をもつ．
（１）３点Ｏ，Ｐ，Ｐ’は一直線上にある
（２）ＯＰ’／ＯＰ＝ｋ







さてこれから２つの図形が相似の位置にるための条件を調べます．どれもあたり まえと思われる命題です．必要がないと思えば，命題3,命題4だけ読めばよいでしょう．
命題１
　平行な直線ｍ，ｎは任意の点に関して相似の位置にある．



証明
　 Ｏを任意の点とする．Ｏを通る任意の直線と平行な２直線ｍ，ｎとの交点をそれぞれ Ｐ，Ｐ’とするとＯＰ’／ＯＰは一定であるから，２直線ｍ，ｎはＯを中心，相似比 ＯＰ’／ＯＰの相似の位置にある．

命題２
　平行な長さの異なる２線分ＡＢ，ＣＤは相似の位置にある．相似の中心は ２つあり，２直線ＡＣ，ＢＤの交点と２直線ＡＤ，ＢＣの交点である．



証明
ＡＢ≠ＣＤより四角形ＡＢＤＣは平行四辺形でない．
２直線ＡＣ，ＢＤは平行でないので，その交点をＯとする．
Ｏを通る任意の直線とＡＣ，ＢＤの交点をそれぞれＰ，Ｐ’とすると，Ｏを通る 直線によらずＯＰ’／ＯＰは一定．
したがって，２線分ＡＢ，ＣＤはＯを中心，相似比 ＯＰ’／ＯＰの相似の位置にある．
２直線ＡＤ，ＢＣの交点Ｏ’についても同様．

次の２つの命題は大切です．
命題３
△ＡＢＣと△ＤＥＦにおいて
ＡＢ‖ＤＥ，ＢＣ‖ＥＦ，ＣＡ‖ＦＤ,
が成り立つとき，△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似の位置にある．
証明




ＡＤとＢＥの交点をＯとする．
このとき，ＡＢ‖ＤＥより
ＯＤ／ＯＡ＝ＯＥ／ＯＢ
次に，ＯＣとＥＦとの交点をＫとする．
このとき同様に
ＯＥ／ＯＢ＝ＯＫ／ＯＣ
∴　ＯＤ／ＯＡ＝ＯＫ／ＯＣ
∴　ＡＣ‖ＤＫ
仮定の
ＣＡ‖ＦＤ
よりＦとＫは一致する．
したがって，
ＯＤ／ＯＡ＝ＯＥ／ＯＢ＝ＯＦ／ＯＣ
より，△ＡＢＣと△ＤＥＦは
Ｏを中心，相似比ＯＤ／ＯＡ
の相似の位置にある．

この命題は，２つの三角形の対応する３辺がそれぞれ平行であれば，相似の位置にあるすなわち
２つの三角形は相似である
ことを示しています．また，対応する頂点を結んだ直線の交点が 相似の中心であることが分かりました．
これはとても便利な命題です．
なお，長方形を考えれば分かるように，命題3は三角形だけで成り立つ命題で，四角形以上では成り立ちません．

命題4
２つの半径の異なる円は必ず相似の位置にある．
相似の中心は，２円の中心を結ぶ線分を半径の比に内分した点，外分した点と２点ある．




上の図で，点Ｐは線分ＯＯ’を２つの円の半径の比に外分した点である．
△ＰＯＡと△ＰＯ’Ａ’で
∠Ｐが共通，ＰＯ：ＯＡ＝ＰＯ’：Ｏ’Ａ’，
および∠Ａ，∠Ａ’がともに鈍角より△ＰＯＡ∽△ＰＯ’Ｂ．
（△ＰＯＡと△ＰＯ’Ｂ’の場合があるので，∠Ａ，∠Ａ’が鋭角か鈍角かを明記する 必要がある．両意の合同）
したがって，
ＰＡ：ＰＡ’＝ＰＯ：ＰＯ’
よって，円Ｏ上の点Ａと円Ｏ’上の点Ａ’が対応し，２円Ｏ，Ｏ’は 点Ｐを相似の中心とする相似の 位置にある．
線分ＯＯ’の内分点も同様に相似の中心であることが分かる．
２円Ｏ，Ｏ'に共通外接線，共通内接線が引けいるとき，線分ＯＯ’を半径の比に 外分する点は共通外接線の交点，内分する点は共通内接線の交点であるので， 相似の位置の中心は見つけやすい．ただ，片方の円がもう一方の円を含む ときのように共通接線が引けないときもあり，当 然このときも２円は相似の位置にあります．
相似の位置が問題解法にどのように利用されるか１つ例を挙げましょう．
例
次の図で，点Ｐは円Ｏ，Ｏ’の共通外接線の交点です．
このとき，２円Ｏ，Ｏ’は点Ｐを相似の 中心とする相似の位置ににあります．
したがって円Ｏの弧ＡＢと円Ｏ’の弧ＢＣは対応し
∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ
が成り立ちます．
また，
ＡＢ：ＢＣ＝ＰＯ：ＰＯ’
も成り立ちます．
次回は相似の位置を使って問題を解いていきましょう．



相似の位置

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