回転相似変換の応用

回転相似変換の応用として，ここでは，国際数学オリンピックの問題を扱います．
国際数学オリンピックの問題というと，しり込みしてしまいそうですが，幾何に限ってみれば， そんなことはありません．
何より使う知識も，ここまで読んできた皆さんなら十分です．
さらに，単に難しいだけでない，粒ぞろいの問題がそろっています．
国際数学オリンピックの問題を一部の優秀な人間を対象にしたものだと考えるのはまことにもったいないことです． 究極の娯楽です．
考える楽しさを味わい，その後解答を鑑賞して下さい．

問題
　 △ＡＢＣは∠Ａ＝９０°の直角三角形である．頂点Ａから斜辺ＢＣに 下ろした垂線の足をＤとする．△ＡＢＤと△ＡＤＣの内心Ｉ，Ｊを結ぶ直線とＡＢ，ＡＣ との交点をそれぞれＫ，Ｌとする．
△ＡＢＣと△ＡＫＬの面積をそれぞれＳ，Ｔとするとき， 不等式Ｓ≦２Ｔが成り立つことを証明せよ．
(１９８８年ＩＭＯ第５問）



解答
△ＡＢＤと△ＣＡＤの関係を考えましょう．
相似はあたりまえですが， 片方の三角形をＤの周りに９０°回転し，さらに相似変換した関係になっています．
その変換で内心は内心に移りますから，
∠ＩＤＪ＝90°，
ＤＩ：ＤＪ
＝ＡＢ：ＡＣ
　 ∴　△ＡＢＣ
∽△ＤＩＪ
次に，４点Ｂ，Ｄ，Ｉ，Ｋに注目しましょう．
上で示した相似の関係より
∠Ｂ＝∠Ｉ
よって，４点Ｂ，Ｄ，Ｉ，Ｋは同一円周上にあることが分かりました．




もう一息です．
Ｉは△ＡＤＢの内心より
∠ＩＤＢ＝４５°
∴　∠ＡＫＩ
＝∠ＩＤＢ＝４５°
したがって，△ＡＫＬは直角２等辺三角形です．

また，
△ＡＫＩ≡△ＡＤＩ　
より
　ＡＤ＝ＡＫ
ここで，代数的な知識，相加平均・相乗平均の関係（ｘ，ｙ＞０のとき （ｘ＋ｙ／２）２≧ｘｙが成り立つ）を使います．
ＡＤ２＝ＢＤ・ＢＣ
≦（（ＢＤ＋ＣＤ）／２）２ ∴　ＢＣ≧２ＡＤ　
（等号が成り立つのはＢＤ＝ＣＤすなわち△ＡＢＣが直角２等辺三角形のとき）
以上で証明が終了いたしました．
実際，
２△ＡＫＬ＝ＢＤ２
２△ＡＢＣ＝ＡＢ・ＢＤ
です．



難しく感じたかもしれません．
しかし難しい知識はあまり使っていません．
もちろんこのレベルの 問題をすらすら解けるようになることは不可能でしょうが， 解ける可能性を高めることは可能です．
それは，ヒントなどを参考に してできるだけ自分で考えることです．
参考書で巧妙な解答を習うことも必要なことではあるでしょうが， それ以上に自ら考えることが大切です．
時間はかかりますがそれによって得られる分析力は，皆さんの 一生の財産になるでしょう．


ナポレオン三角形

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