ナポレオン三角形

ここでは，回転相似変換の応用として，ナポレオン三角形を扱います．

定理
△ＡＢＣの各辺の外側に正三角形ＤＣＢ，ＥＡＣ，ＦＢＡをつくる．
このとき，この３つの正三角形の中心をＸ，Ｙ，Ｚとすると， 三角形ＸＹＺは正三角形である．



この△ＸＹＺを△ＡＢＣのナポレオン三角形といいます．



上の図で，外側の３つの三角形が正三角形であることに注目すれば， △ＺＢＸをＢの周りに−30°回転しsqrt(3)倍したのが△ＡＢＤで △ＣＹＸをＣの周りに30°回転しsqrt(3)倍したのが△ＣＡＤ．
したがって，ＺＸ＝ＹＸが分かります．
他も同様で，△ＸＹＺ正三角形でさらに1辺の長さはＡＤの １／sqrt(3)倍であることも分かりました．

外側に正三角形を作ったときは簡単に分かりました．
同じように， △ＡＢＣの各辺の外側に正方形を作った場合どうなるかも考えてみましょう．
すなわち，

問題
△ＡＢＣの各辺の外側にそれぞれ正方形を作る．このとき， この３つの正方形の中心をＤ，Ｅ，Ｆとすると， Ｄ，Ｅ，Ｆにはどのような性質があるか調べよう．

次の図をみてください．r



点Ｐの周りにθ°回転しさらにｋ倍する変換をＵ（Ｐ，θ°，ｋ）と表します．
上の図より， Ｕ（Ａ，−４５°，sqrt(2))
：△ＡＦＥ→△ＡＰＣ
Ｕ（Ｂ，−４５°，１／sqrt(2))
：△ＰＢＣ→△ＡＢＤ
ここで，
Ｕ（Ａ，−４５°，sqrt(2))
と
Ｕ（Ｂ，−４５°，１／sqrt(2))
の合成は新しい点の周りの−９０°回転になります．
したがって，
ＡＤ⊥ＥＦ，
ＡＤ＝ＥＦ が証明できました．

ＡＤは△ＤＥＦでＤからＥＦに引いた垂線であるから，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは1点で交わりその点は △ＤＥＦの垂心であることも分かります．
ここで△ＢＣＤ，△ＣＡＥ，△ＡＢＦは△ＡＢＣの各辺の外側に作った直角２等辺三角形ですから，次のように まとめることができます．

定理
△ＡＢＣの各辺の外側に各辺が斜辺である直角２等辺三角形ＢＣＤ，ＣＡＥ， ＡＢＦをつくる．このとき，
ＡＤ＝ＥＦ，ＢＥ＝ＦＤ，ＣＦ＝ＤＥ，
ＡＤ⊥ＥＦ，ＢＥ⊥ＦＤ，ＣＦ⊥ＤＥ
が成り立ち，かつ， ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で成り立ち，その交点は△ＤＥＦの垂心である．


相似の位置

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