ナポレオン三角形
ここでは,回転相似変換の応用として,ナポレオン三角形を扱います.

定理
△ABCの各辺の外側に正三角形DCB,EAC,FBAをつくる.
このとき,この3つの正三角形の中心をX,Y,Zとすると, 三角形XYZは正三角形である.




この△XYZを△ABCのナポレオン三角形といいます.



上の図で,外側の3つの三角形が正三角形であることに注目すれば, △ZBXをBの周りに−30°回転しsqrt(3)倍したのが△ABDで △CYXをCの周りに30°回転しsqrt(3)倍したのが△CAD.
したがって,ZX=YXが分かります.
他も同様で,△XYZ正三角形でさらに1辺の長さはADの 1/sqrt(3)倍であることも分かりました.

外側に正三角形を作ったときは簡単に分かりました.
同じように, △ABCの各辺の外側に正方形を作った場合どうなるかも考えてみましょう.
すなわち,

問題
△ABCの各辺の外側にそれぞれ正方形を作る.このとき, この3つの正方形の中心をD,E,Fとすると, D,E,Fにはどのような性質があるか調べよう.


次の図をみてください.r



点Pの周りにθ°回転しさらにk倍する変換をU(P,θ°,k)と表します.
上の図より, U(A,−45°,sqrt(2))
:△AFE→△APC
U(B,−45°,1/sqrt(2))
:△PBC→△ABD
ここで,
U(A,−45°,sqrt(2))

U(B,−45°,1/sqrt(2))
の合成は新しい点の周りの−90°回転になります.
したがって,
AD⊥EF,
AD=EF が証明できました.

ADは△DEFでDからEFに引いた垂線であるから,AD,BE,CFは1点で交わりその点は △DEFの垂心であることも分かります.
ここで△BCD,△CAE,△ABFは△ABCの各辺の外側に作った直角2等辺三角形ですから,次のように まとめることができます.

定理
△ABCの各辺の外側に各辺が斜辺である直角2等辺三角形BCD,CAE, ABFをつくる.このとき,
AD=EF,BE=FD,CF=DE,
AD⊥EF,BE⊥FD,CF⊥DE
が成り立ち,かつ, AD,BE,CFは1点で成り立ち,その交点は△DEFの垂心である.



相似の位置

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