２．三角形の内心ここでは△ABCの内心Iを扱います． △ABCの内心Iとは，三角形の各辺に接する円（この円を△ABCの 内接円といいます）の中心です．
△ABCの内心Iを求めましょう． まず，点Oと直線ｍが与えられたとき，Oを中心として直線ｍに接する円の 書き方から考えましょう．  Oから直線ｍに垂線OHを下ろし，点Oを中心とする半径OHの円を 描けば，その円がOを中心とする直線ｍに接する円です(上図)． 次に考えるのは∠AOBの半直線OA，OB（１点から片方がわに伸びている直線を 半直線といいます）の両方に接する円です．  OA，OBの両方に接する円が存在したとしてその中心をPとします．Pから半直線OA，OB にそれぞれ垂線PH，PKを引けば PH＝PK が成り立ちます． さて，∠AOB内の点PでPからOA，OBに下ろした垂線をそれぞれ PH，PKとします．このときPH＝PKとなる点Pはどのような性質をもっているでしょう．  図より，△PHO≡△PKO（ここで，≡は合同といい２つの図形はぴったり 重ね合わせることができるという意味です．これはあとでまた学びます） であり，∠POA＝∠POBが成り立ちます．すなわちPは∠AOBの ２等分線上にあることが分かります． まとめると次のようになります．重複になりますが，証明も付け加えます． 性質１ ∠AOB内の点PでPからOA，OBに下ろした垂線をそれぞれ PH，PKとする．このときPH＝PKなら点Pは∠AOBの２等分線上にある．
証明$\triangle POH$と$\triangle POK$において $\begin{cases} \angle PHO=\angle PKO=90^{\circ}\\PO=PO\\PH=PK \end{cases}$ ２つの直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいから $\triangle POH\equiv \triangle POK$ したがって $\angle POH=\angle POK$ 逆の命題も証明しておくと，２つの条件（仮定と結論）がまったく同じ内容であることが いえ便利です． 逆の命題も証明しましょう． 性質２ ∠AOB内の点Pが∠AOBの２等分線上にあるとき，Pから半直線OA，OB に引いた垂線をそれぞれPH，PKとすると PH＝PK が成り立つ． 証明 $\triangle POH$と$\triangle POK$において $\begin{cases} \angle PHO=\angle PKO=90^{\circ}\\\angle POH=\angle POK\\PO=PO \end{cases}$ ２つの直角三角形で斜辺と一鋭角がそれぞれ等しいから $\triangle POH\equiv \triangle POK$ したがって $PH=PK$ 準備は整いました．次が内心に関しての重要な定理です 定理 $\triangle ABC$の$\angle A，\angle B，\angle C$のそれぞれの ２等分線は１点で交わる．  証明 $\triangle ABC$の$\angle B,\angle C$の２等分線の交点を$I$とする． $I$から辺$AB,BC,CA$に下した垂線の足それぞれを$H,K,L$とする． 性質2より $IH=IK,IK=IL$ したがって $IH=IK$ よって，性質１より$I$は$\angle A$の２等分線上にある． すなわち，３内角の２等分線は１点で交わる． 以上の証明より， $\begin{cases}IH=IK=IL\\ IK\perp BC,IL\perp CA,IH\perp AB \end{cases} $ であるから$I$を中心とする$H,K,L$を通る円をかくことができ，この円は$\triangle ABC$ の３辺に接している．この円を$\triangle ABC$の内接円といい，円の中心$I$ を$\triangle ABC$の内心という． 内心は以上で終わりです．次回は三角形の合同にについて扱います． 三角形の合同 目次 |