2.三角形の内心

ここでは△ABCの内心Iを扱います. △ABCの内心Iとは,三角形の各辺に接する円(この円を△ABCの 内接円といいます)の中心です.



△ABCの内心Iを求めましょう. まず,点Oと直線mが与えられたとき,Oを中心として直線mに接する円の 書き方から考えましょう.



Oから直線mに垂線OHを下ろし,点Oを中心とする半径OHの円を 描けば,その円がOを中心とする直線mに接する円です(上図).
次に考えるのは∠AOBの半直線OA,OB(1点から片方がわに伸びている直線を 半直線といいます)の両方に接する円です.

OA,OBの両方に接する円が存在したとしてその中心をPとします.Pから半直線OA,OB にそれぞれ垂線PH,PKを引けば
PH=PK
が成り立ちます.
さて,∠AOB内の点PでPからOA,OBに下ろした垂線をそれぞれ PH,PKとします.このときPH=PKとなる点Pはどのような性質をもっているでしょう.



図より,△PHO≡△PKO(ここで,≡は合同といい2つの図形はぴったり 重ね合わせることができるという意味です.これはあとでまた学びます) であり,∠POA=∠POBが成り立ちます.すなわちPは∠AOBの 2等分線上にあることが分かります. まとめておきましょう.

性質1 ∠AOB内の点PでPからOA,OBに下ろした垂線をそれぞれ PH,PKとします.このときPH=PKとなる点Pは∠AOBの2等分線 上にある.

逆の命題も証明しておくと,2つの条件(仮定と結論)がまったく同じ内容であることが いえ,とても便利です.
逆の命題も証明しましょう.

性質2 ∠AOB内の点Pが∠AOBの2等分線上にあるとき,Pから半直線OA,OB に引いた垂線をそれぞれPH,PKとすると
PH=PK
が成り立つ.



△POH≡△POKが示せPH=PKが成り立つことが分かります.

三角形の内心I,すなわち内接円の中心Iを求める準備が整いました. △ABCの内心Iは,各辺に下ろした垂線をそれぞれIH,IK,ILとすると
IH=IK=IL
をみたす点です.



IH=IKよりIは∠Bの2等分線線上にあり,IK=ILよりIは∠C の2等分線上にもあります.したがって,Iは∠B,∠Cの2等分線線の交点 であることが分かりました,なお,さらにIはIL=IHより,∠Aの2等分線上 にもあります.以上で∠A,∠B,∠Cの2等分線は1点で交わりその点が△ABCの内心Iで あることが分かりました.
最後にまとめておきましょう.

命題 △ABCの∠A,∠B,∠Cの2等分線線は1点で交わりその点が三角形内心Iである.

内心は以上で終わりです.次回は三角形の合同にについて扱います.

三角形の合同

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