平面の変換

中心相似変換

前頁では相似変換の性質を一般的に扱いました．これだけでは使い物になりません．
これから具体的に扱います．

定義
平面上の定点を$O$とする．平面上の任意の点$P$に対して，
$\overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{OP}　\ (k\neq 0)$
を満たす点$P'$を対応させる平面の変換を$O$を中心とする相似比$k$ の中心相似変換といい$H(O,k)$と表す．

中心相似変換は$k=1$のときは恒等変換で，$k=-1$のときは点$O$関する点対称変換（もちろん点$O$ の周りの$180^{\circ}$の回転変換といってもよい）である．
なお，相似変換$H(k)$の相似比$k$は正であるが，中心相似変換$H(O,k)$の相似比$k$ は$k\neq 0$である．

命題1
中心相似変換は相似変換である．

証明
$O,A,B$が一直線上のないとき，
$H(O,k):A\mapsto A',B\mapsto B'$
とする．
$OA:OA'=OB:OB'=1:|k|,\angle AOB=\angle A'OB'$
より
$\triangle OAB\backsim \triangle OA'B'$
$A'B'=|k|AB$
$O,A,B$が一直線上のときはここでは述べないが簡単に示すことができる．

命題1の証明から次の性質が成り立つことが分かる．

命題2
中心相似変換によって，直線の像は元の直線と平行な直線である．

命題3
線分$AB,A'B'$は
$AB\parallel A'B'$かつ$AB\neq A'B'$
のとき，$A\mapsto A',B\mapsto B'$の正の相似変換は中心相似変換である．

証明
$AB\neq A'B'$であるから，$A\mapsto A',B\mapsto B'$の正の相似変換はただ一つに決まる．
あとは存在することを示せばよい．
２直線$AA',BB'$の交点を$O$とすると
$H(O,\dfrac{A'B'}{AB}):A\mapsto A',B\mapsto B'$
となっている．

つぎに，
$H(O,2):\triangle ABC\mapsto \triangle A'B'C'$
のとき，$\triangle ABC,\triangle A'B'C'$と中心相似変換の中心$O$の関係を見てみよう．
(1) ３直線$AA',BB',CC'$はすべて点$O$を通る．
(2) $OA:OA'=OB:OB'=OC:OC'(=1:2)$
が成り立つことが分かる．
逆に，$\triangle ABC,\triangle A'B'C'$が上記の(1),(2)を満たすとき
$AB:BC:CA=A'B':B'C':C'A'$
より$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$が成り立つ．この事実は相似な図形を簡単に作る方法を示している．

例
右図は，$\triangle ABC$内に１辺が辺$BC$上にある最大の正方形の作り方を示している．
実際，辺$AB$上に点$S'$を取り，正方形$P'Q'R'S'$を作り，$B$を中心とする中心相似変換で正方形$PQRS$を求めている．

中心相似変換で得られる２つの図形の関係を定義したのが次である．

定義
２つの図形$S,S'$の対応点が次の条件
(1)対応点を結ぶ直線は必ず定点$O$を通る．
(2)$O$から各図形の対応点までの比はすべて等しい．
を満たすとき図形$S$と図形$S'$は相似の位置にあるといい，点$O$を相似の中心という．

図形$S'$は図形$S$の$O$を中心とする中心相似変換の像であるから，
$S\backsim S'$
である．
言い方を変えれば，中心相似変換で成り立つ性質は，相似の位置にある図形でも成り立つということです．
中学では，相似の位置を学び，これが中心相似変換の代用をしています．

命題4
$k_1k_2\neq 1$のとき
中心相似変換$H(O_1,k_1),H(O_2,k_2)$の合成$H(O_2,k_1)\circ H(O_1,k_2)$ は中心相似変換$H(O,k_2k_1)$で，$O$は
$O_1O:OO_2=k_2-1:k_2(k_1-1)$
を満たす．

証明
中心相似変換による線分の像は平行な線分であり，$k_1k_2\neq 1$ および$H(O_2,k_1)\circ H(O_1,k_2)$は正の相似変換であるから，命題3より $H(O_2,k_1)\circ H(O_1,k_2)$は中心相似変換$H(O,k_2k_1)$である．
$O$の位置を調べる．
直線$O_1O_2$を$l$とすると，
$H(O_1,k_1):l\mapsto l,H(O_2,k_2):l\mapsto l$,
より
$H(O,k_1k_2):l\mapsto l$
したがって，$O$は直線$O_1O_2$上にある．

つぎに$O$の位置を調べる．
$P\stackrel{H(O_1,k_1)}{\longmapsto} P_1\stackrel{H(O_2,k_2)}{\longmapsto} P_2$
とする.
直線$PP_2$と直線$O_1O_2$の交点が$O$であるから,
$\triangle P_1O_1O_2$にメネラウスの定理を用いて
$\dfrac{O_1O}{OO_2}\cdot \dfrac{k_2}{1-k_2}\cdot \dfrac{k_1-1}{1}=-1$
したがって
$O_1O:OO_2=k_2-1:k_2(k_1-1)$
を得る．

つぎに命題4の$k_1k_2=1$の場合を調べよう．
先ず,$k_1=2,k_2=\frac{1}{2}$の場合を見てみよう．
$P$は線分$O_1P_1$の中点，$P_2$は線分$O_2P_1$の中点であるから中点連結定理より
$\overrightarrow{PP_2}=\dfrac{\overrightarrow{O_1O_2}}{2}$
が成り立つ．

命題5
$k_1k_2=1$のとき
中心相似変換$H(O_1,k_1),H(O_2,k_2)$の合成$H(O_2,k_2)\circ H(O_1,k_1)$は $H(O_2,k_2)$による点$O_1$の像を$O$とするとベクトル$\overrightarrow{O_1O}$ で決まる平行変換である．

証明
２点$A,B$の$H(O_2,k_2)\circ H(O_1,k_1)$による像をそれぞれ$A',B'$とすると
$AB\parallel A'B',AB=A'B'$
であるから，四角形$ABB'A'$は平行四辺形．したがって
$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$
したがって，$H(O_2,k_2)\circ H(O_1,k_1)$は平行変換であることがわかる．
どのような平行変換かは$O_1$を移動してみると分かりやすい．
$H(O_2,k_2)\circ H(O_1,k_1):O_1\mapsto O_1\mapsto O$
とすると, $O$は
$\overrightarrow{O_2O}=k_2\overrightarrow{O_2O_1}$
を満たす点である．

ここで，変換群の立場から，相似変換，中心相似変換を見てみよう．
相似変換は２点の距離の比を変えないであるから，平行変換も相似変換のであり，相似変換全体は群をます．
実際，相似変換の合成は相似変換で恒等変換は相似変換で，逆変換も相似変換．
しかし，中心相似変換全体平行変換を含まないので，$k_1k_2=1$のときを考えれば分かるように演算が閉じていない．したがって，そのままでは群になるとは言えない．
もし，中心相似変換に平行変換を加えればそれは群となり，相似変換群の部分群である．

中心相似変換の例題

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