相似変換ここまで，平面上の点を同じ平面上の点にうつす変換の中で，長さを変えない変換すなわち合同変換を扱ってきました，これから相似変換を扱います． 中学で相似は学びます．教科書では相似の定義がどうなっているかを見てみると 定義 1つの図形を，形を変えずに一定の割合に拡大，または縮小したとき， その図形ともとの図形とは相似であるという． 中学生を対象とするこの相似の定義に異議をと唱える人はいないでしょうが， たとえば「形を変えず」，「一定の割合に拡大，縮小」の意味を問われれば 答えずらい． ここでは，相似の定義から始め，内容を作り上げていきます． 定義 平面から平面への変換で，任意の２点$A,B$とその像$A',B'$に対して，常に $A'B'=kAB \ \ $ ただし$k$は$k > 0$の定数 を満たすとき$f$を相似比$k$の相似変換といい，$H(k)$と表す． 定義 図形$S$を図形$S'$にうつす相似変換が存在するとき図形$S'$は図形$S$に相似であるといい $S'\backsim S$ と表す． 相似変換の持つ性質を定義から導き出す． 命題1 相似変換は一直線上の３点を一直線上の３点にうつす． 注意いくつかの点が一直線上にあるときこれらの点は共線または共線をなすといい，いくつかの直線が一点で交わるときこれら直線を 共点または共点をなすという．以後この言葉を用いる． 
証明３点$A,B,C$がこの順に共線をなすとき， $AC=AB+BC$ である． 相似変換$H(k)$で $H(k):A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$ のとき， $A'B'=kAB,B'C'=kBC,A'C'=kAC$ であるから $A'C'=kAC=k(AB+BC)=kAB+kBC=A'B'+B'C'$ したがって，$A',B',C'$はこの順に共線をなす． 命題1より直線$AB$上の点は直線$A'B'$上の点にうつる． 逆に直線$A'B'$上の点$P'$は直線$AB$上の点の像になっていることを示そう． 直線$AB$上に点$P$を $AP:PB=A'P':P'B'$ を満たすようにとる．もちろん，$P'$が内分点なら$P$も内分点，外分点なら外分点とする． ここで $H(k):P\mapsto P^*$ とする．相似変換の定義より $A'P^*:P^*B'=kAP:kPB=AP:PB$ $\therefore A'P':P'B'=A'P^*:P^*B'$ $P',P^*$は一致するから $H(k):P\mapsto P'$ 以上で次の命題が得られた． 命題2 相似変換で直線の像は直線であり，直線の原像は直線である． つぎに $H(k):A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$ のとき， $A'B'=kAB,A'C'=kAC$ より $A'B':A'C'=AB:AC$ したがって次が成り立つ． 命題3 相似変換で線分の比は保たれる． 三角形で，３辺の比が等しければ相似であるから $H(k):A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$ のとき $AB:BC:CA=A'B':B'C':CA'$ より $\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$ であるから $\angle BAC=\angle B'A'C'$ すなわち次の命題が成り立つ． 命題4 相似変換で角の大きさは保たれる． 相似変換で，角の大きさは保たれるが，$\angle BAC$は正であるが $\angle B'A'C'$は負になることもあることに注意する． 定義 $\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$のとき対応する頂点が同じ向きに回るとき すなわち$ABCA$のまわり方と$A'B'C'A'$のまわり方が同じときこの２つを正の相似といい， 対応する頂点の向きが反対のとき，この２つを負の相似という． 相似変換には２種類あり，像が正の相似である相似変換を正の相似変換といい， 像が負の相似である相似変換を負の相似変換という． 次に命題は，これからの議論を進めるうえで重要である． 命題5 ２点の像が決まれば相似変換は２通り決まり， 一つは正の相似変換でもう一つは負の相似変換である． 
証明$A\mapsto A',B\mapsto B'$ のとき $\dfrac{A'B'}{AB}=k$ とおけば，相似変換の相似比は$k$である． 平面上の上の任意の点$P$に対して $P$が直線$AB$上のとき 直線$A'B'$上の点$P'$で $AP:PB=A'P':P'B'$ を満たす点$P'$が$P$の像である． $P$が直線$AB$上にないとき $A'P'=kAP,BP'=kBP$ を満たす$P'$は２点あり，$A,B,P,A$と$A',B',P',A'$が 同じまわり方と反対のまわり方である． ２点ある$P'$のうち同じまわり方の方を定めたのが正の相似変換で， 反対のまわり方の方を定めたのが負の相似変換である． 命題5は正の相似変換または負の相似変換だけを考えれば， 相似変換は異なる２点の像を与えればただ一つに決まる ということができるし， $\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$を定めると $A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$ を満たす相似変換はただ一つに決まる といってもよい． 中心相似変換 目次 |