回転変換の合成(2)

２つの回転変換の合成は，回転角の和が$360^{\circ}\times n$のとき 平行変換になる．
もっと正確に言えば，回転変換の中心$O',O"$が異なるとき平行変換で，一致するときは恒等変換です．
次に３個の回転変換
$R(O_1,\theta _1^{\circ}),R(O_2,\theta _2^{\circ}),R(O_3,\theta _3^{\circ})$
ただし$\theta _1^{\circ}+\theta _2^{\circ}+\theta _3^{\circ}=360^{\circ}$
の合成
$R(O_3,\theta_3^{\circ}) \circ R(O_2,\theta_2^{\circ}) \circ R(O_1,\theta _1^{\circ})$
を考えます．
ここで，
$R(O_2,\theta_2^{\circ}) \circ R(O_1,\theta _1^{\circ}$
の回転の中心を$O'$とすると$O'$と$O_3$が一致するとき，
$R(O_3,\theta_3^{\circ}) \circ R(O_2,\theta_2^{\circ}) \circ R(O_1,\theta _1^{\circ})$
は恒等変換になる．


具体的に調べよう．
△ABCは右回りで$\angle A=\alpha,\angle B=\beta ,\angle C=\gamma$とする．このとき
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$
を考える．
右図を見れば分かるように，直線$AB$を$A$の周りに$-\alpha$回転すると直線$AC$で直線$BA$を$B$の周りに$\beta$回転したものが 直線$BC$である．
したがって，
$R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=R(C,2(\alpha +\beta ))$
$\therefore R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=$(恒等変換)
を得る．
これは
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$
$=S(CA)\circ S(CB)\circ S(BC)\circ S(BA)\circ S(AB)\circ S(AC)$
$=S(CA)\circ S(AC)=$恒等変換
ただし，$S(l)$は直線$l$に関する対称変換を表す．
と見ても納得できる．


ここで注意するべきことは，$\alpha,\beta,\gamma$が正の角のとき， $\triangle ABC$右回り（時計回り），すなわち通常と逆の向きであることです．
通常の左回り（反時計周り）に$\triangle ABC$を考えたとき
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$
が恒等変換にならないことを確認しよう．
正三角形$\triangle ABC$で考えると分かりやすい．
$R(C,120^{\circ}) \circ R(B,120^{\circ}) \circ R(A,120^{\circ})$
による$A,B$の像を調べてみよう(右図)．
$A \mapsto A \mapsto P \mapsto P'$
$B \mapsto Q \mapsto Q' \mapsto Q"$
でともに不動点でない．
もちろん，恒等変換でなければ平行変換であるから
$\overrightarrow{AP'}=\overrightarrow{BQ"}$
になっている．
三角形がこのように左回りのときは，
$R(C,-120^{\circ}) \circ R(B,-120^{\circ}) \circ R(A,-120^{\circ})$・・・�@
が恒等変換になっている．
さらに，$-120^{\circ}$は$240^{\circ}$であるから，�@は
$R(C,240^{\circ}) \circ R(B,240^{\circ}) \circ R(A,240^{\circ})$
が恒等変換と書くこともできる．


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