ガモフの宝探し

回転変換の合成を用いて，ガモフの宝探し問題を解こう．
この問題はガモフが複素数の図形的意味を説明するために作成したものです．
高校の教育課程に複素数が入るたびに取り上げられる有名問題で 見たことのある人もいるでしょう．
ここでは初等幾何的取り扱いをします．問題を解くだけなら，ベクトルや複素数を用いる 解析幾何が優れているでしょうが，問題の背景や深い考察をしようとすると初等幾何的取り扱いが必要になってきます．

それでは問題に入りましょう．
問題
無人島に宝が埋まっている．そのありかを示す文章は次の通りである．

島には裏切り者を処刑する絞首台と一本の樫の木と一本の松の木がある．
まず絞首台の前に立ち，樫の木に向かって歩数を数えながらまっすぐ歩き，樫の木にぶつかったら 直角に右に曲がり，同じ歩数だけ歩いて杭を打つ．絞首台に戻り，今度は松の木に向かって歩数を数えながらまっすぐ歩き， ぶつかったら直角に左に曲がり，同じ歩数だけ歩いてまた杭を打つ．宝は２つの杭の中間点にある．

ある若者がこの文章を手にいれ，その無人島に行ったところ，樫の木と松の木はあるが絞首台は見つからない．時間の経過で 絞首台は朽ち落ちてしまったようだ．いたずらに穴を掘っても見つからず若者はあきらめてこの島を後にした．

この文章から宝の場所を見つけましょう．

（ジョージ　ガモフ著「宇宙＝１,２,３,・・・,無限大」より）



解答
右図で
$R(C,90^{\circ}):Y\mapsto A$
$R(B,90^{\circ}):A\mapsto X$
であり，$X,Y$は点$Z$に関して点対称．点対称は中心の周りの$180^{\circ}$回転であるから
$R(Z,180^{\circ}):X\mapsto Y$
一方
$R(Z,180^{\circ})\circ R(B,90^{\circ})\circ R(C,90^{\circ})$
は回転角の和が$360^{\circ}$であるから平行変換が恒等変換のいずれかであるが，
$Y\mapsto A\mapsto X\mapsto Y$
より恒等変換である.
したがって，$Z$は$\triangle ZBC$が$\angle Z=90^{\circ},\angle B=\angle C=45^{\circ}$
である頂点$Z$であるが，この問題は$Z$を線分$XY$の中点と見ている．
$A$がどこにあっても，すなわち絞首台がどこにあろうとも，そこから文章にしたがって試してみれば宝物を見つけることが出来るのです．

この問題は，回転角の和が$180^{\circ}$のときの２つの回転変換の合成の回転の中心を求める方法示しています．
すなわち，$a+b=180^{\circ}$のとき
$R(C,b)\circ R(B,a)$
の回転の中心$Z$は
$\angle ZCB=\dfrac{b}{2},\angle ZBC=\dfrac{a}{2}$
を満たす点ですが，その点は任意の点$Y$の
$R(C,b)\circ R(B,a)$
による像$X$を求めれば，線分$YX$の中点になっている．

出典は
ジョージ・ガモフ 著 崎川範行／伏見康治／鎮目恭夫 訳，
宇宙＝１，２，３，・・・,無限大　　　白揚社　　　４３ページ
です．

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ナポレオン三角形


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