同一法の応用の続き

検討する内容があります．
証明の中でQ，Rの決め方が
∠DPQ＝∠DPR＝３０°
としています．
本来なら，線分DC，DB上に点Q，Rを△PQRが正三角形であるようにとる といった方が証明がすっきりします．
そのときの問題点をここで述べましょう．
問題の設定は次の内容です．

△DBCの内心をPとする．ただし∠D＝６０°＋２α．
このとき，点Q，Rを
∠DPQ ＝∠DPR＝３０°
と定めれば△PQRは正三角形であるが，
その逆は成り立つか

です．



Qが辺CD上，Rが辺BD上にありPQ＝PRを満たすときを考える．
すなわち，△PQRが正三角形のとき,PQ=PR,∠QPR=60°であるから， PQ=PRを満たす中で∠QPR=60°となる場合を調べます．
△PQDと△PRDは２辺と１対角が等しいから，
合同の場合と合同で ない場合があります（両意の合同）．
合同なときすなわち図で，Q，RまたはQ’，R’をとるとき,
△PQRが正三角形すなわち∠QPR=60°なら
∠QPD
＝∠RPD＝30°，
∠Q’PD
＝∠R’PD＝30°
となります．この場合は問題ありません．
合同でない場合を考える必要があります．
図の△DPQと△DPR’です．
このとき，Pから辺CD，辺BDに下ろした垂線の足をそれぞれH，K とすれば，
∠QPR’＝∠HPK
となります．
したがって
∠HPK＝60°
のとき，△PQR’は正三角形になります．
これが起こるのは
∠D＝120°のときです（下図）．

一方∠D＝60°＋２αより
α＝30°すなわち
∠A＝90°のときです．
このような場合が起こるので，
Qが辺CD上，Rが辺BD上のとき
Q,Rが∠DPQ＝∠DPR＝30°を満たす$\Longrightarrow$AQ，ARは∠Aの３等分線である
と書かなければなりませんでした(仮定が△PQRが正三角形ではまずい)．


転換法

目次