同一法の応用の続き

検討する内容があります.
証明の中でQ,Rの決め方が
∠DPQ=∠DPR=30°
としています.
本来なら,線分DC,DB上に点Q,Rを△PQRが正三角形であるようにとる といった方が証明がすっきりします.
そのときの問題点をここで述べましょう.
問題の設定は次の内容です.

△DBCの内心をPとする.ただし∠D=60°+2α.
このとき,点Q,Rを
∠DPQ =∠DPR=30°
と定めれば△PQRは正三角形であるが,
その逆は成り立つか


です.



Qが辺CD上,Rが辺BD上にありPQ=PRを満たすときを考える.
すなわち,△PQRが正三角形のとき,PQ=PR,∠QPR=60°であるから, PQ=PRを満たす中で∠QPR=60°となる場合を調べます.
△PQDと△PRDは2辺と1対角が等しいから,
合同の場合と合同で ない場合があります(両意の合同).
合同なときすなわち図で,Q,RまたはQ’,R’をとるとき,
△PQRが正三角形すなわち∠QPR=60°なら
∠QPD
=∠RPD=30°,
∠Q’PD
=∠R’PD=30°
となります.この場合は問題ありません.
合同でない場合を考える必要があります.
図の△DPQと△DPR’です.
このとき,Pから辺CD,辺BDに下ろした垂線の足をそれぞれH,K とすれば,
∠QPR’=∠HPK
となります.
したがって
∠HPK=60°
のとき,△PQR’は正三角形になります.
これが起こるのは
∠D=120°のときです(下図).

一方∠D=60°+2αより
α=30°すなわち
∠A=90°のときです.
このような場合が起こるので,
Qが辺CD上,Rが辺BD上のとき
Q,Rが∠DPQ=∠DPR=30°を満たす$\Longrightarrow$AQ,ARは∠Aの3等分線である
と書かなければなりませんでした(仮定が△PQRが正三角形ではまずい).


転換法

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