1.三角形の外心

三角形には4つのとても重要な点すなわち,外心,内心,重心,垂心 があります.通常外心をO,内心をI,重心はGを垂心はHを用います.

いくつかの直線が同じ点を通るとき,これらの直線は共点であるといいます.
ここでは共点条件を満たす3直線に注目しながら,外心, 内心,重心,垂心を扱います.

まず,△ABCの外心Oについて考えます.

外心を調べるには,次の性質を利用します.

性質1
2点A,Bが与えられているとき,
点PがPA=PBを満たすなら点Pは線分ABの垂直2等分線上にある.
逆に点Pが線分ABの垂直2等分線上にあるならPA=PBを満たす.


数学では,ここで行ったように2つの性質X,Yがあるとき, (ここではXは点PはPA=PBを満たす, Yは点Pが線分ABの垂直2等分線上にある です.) XならばY(これをX→Yと書きます)が証明でき,かつ Y→Xも証明できると,XとYが見かけは違うが,まったく同じである ことが証明できたことになります.
なお,X→Y,Y→Xがともに成り立つとき,X,Yはおなじことですが, 数学ではXとYは同値であるといいX⇔Yと表します.

性質1の証明
右の図を参考にして下さい.
線分ABの中点をMとしています.
$\triangle PAM$と$\triangle PBM$において
$\begin{cases} AM=BM\\PM=PM\\PA=PB\end{cases}$
3辺がそれぞれ等しいから
$\triangle PAM\equiv \triangle PBM$
したがって
$\angle PMA=\angle PMB$
さらに
$\angle PMA+\angle PMB=180^{\circ}$
であるから
$\angle PMA=90^{\circ}$
逆に点$P$が線分$AB$の垂直2等分線上にあるとき
$\triangle PAM$と$\triangle PBM$において
$\begin{cases} AM=BM\\PM=PM\\\angle PMA=\angle PMB\end{cases}$
より2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
$\triangle PAM\equiv \triangle PBM$
$\therefore PA=PB$

準備は整いました.

定理
$\triangle ABC$の3辺の垂直二等分線は1点で交わる.

証明
2辺$BC,CA$の垂直二等分線の交点を$O$とする.
このとき性質1より
$OB=OC,OC=OA$
したがって
$OA=OB$
が成り立つ.性質1より,点$O$は線分$AB$の垂直二等分線上にあるから3辺 $AB,BC,CA$の垂直二等分線は一点で交わる.

この証明より,点$O$は
$OA=OB=OC$
を満たすので,$O$を中心とする三頂点$A,B,C$を通る円を描くことができる.この円を $\triangle ABC$の外接円といい,その中心である点$O$を$\triangle ABC$ の外心という.

以上で外心の話は終わりです.ゆっくり理解しながら学べば,数学は 楽しいものです.数学を学ぶとき, いろんな知識を覚えることに目を向けてはいけません. 数学を学びながら,論理的な考え方や分析力を身に着けることが大事です.
証明に目を向け,どうやって証明するのかなと考えながら読むことをお勧めします.

三角形の内心

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