1.三角形の外心

三角形には4つのとても重要な点すなわち,外心,内心,重心,垂心 があります.通常外心をO,内心をI,重心はGを垂心はHを用います.

それぞれを復習いたしましょう.

まず,△ABCの外心Oについてです.外心とは,3点A,B,Cを通る円(この円を△ABCの 外接円という)の中心Oです.

外心を調べるには,次の性質を利用します.

性質1
2点A,Bが与えられているとき,
点PがPA=PBを満たすなら点Pは線分ABの垂直2等分線上にある.
また,逆に点Pが線分ABの垂直2等分線上にあるならPA=PBを満たす.


数学では,ここで行ったように2つの性質X,Yがあるとき, (ここではXは点PはPA=PBを満たす, Yは点Pが線分ABの垂直2等分線上にある です.) XならばY(これをX→Yと書きます)が証明でき,かつ Y→Xも証明できると,XとYが見かけは違うが,まったく同じである ことが証明できたことになります.
なお,X→Y,Y→Xがともに成り立つとき,X,Yはまったくおなじことですが, 数学ではXとYは同値であるといいX⇔Yと表します.

性質1を証明しましょう.次の図を参考にして下さい.

線分ABの中点をMとしています.
△PAMと△PBMが合同(2つの図形がまったく重ね合わせることが出来るとき合同と いい≡の記号を用います) であることを利用して証明できます.ここでは省略します.
準備は整いました.△ABCの外心を求めましょう.

外心Oは OA=OB=OCを満たす点ですから OA=OBより,Oは辺ABの垂直2等分上にあります. 同様に,OB=OCより,Oは辺BCの垂直2等分線上 にもあります.したがって,辺ABの垂直2等分線と 辺BCの垂直2等分線の交点が求める点となります.

以上で外心の話は終わりです.ゆっくり理解しながら学べば,数学は 楽しいものです.楽しいだけではありません.数学を学びながら得た,論理的な考え方は, これからとても役に立つのです. 興味がもてたらぜひ次に進んでください.

三角形の内心

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