１．三角形の外心三角形には４つのとても重要な点すなわち,外心，内心，重心，垂心 があります．通常外心をO，内心をI，重心はGを垂心はHを用います．いくつかの直線が同じ点を通るとき，これらの直線は共点であるといいます． ここでは共点条件を満たす３直線に注目しながら，外心， 内心，重心，垂心を扱います． まず，△ABCの外心Oについて考えます． 外心を調べるには，次の性質を利用します． 性質１ ２点A，Bが与えられているとき, 点PがPA＝PBを満たすなら点Pは線分ABの垂直２等分線上にある． 逆に点Pが線分ABの垂直２等分線上にあるならPA＝PBを満たす． 
数学では，ここで行ったように２つの性質X，Yがあるとき， （ここではXは点PはPA＝PBを満たす， Yは点Pが線分ABの垂直２等分線上にある です．） XならばY（これをX→Yと書きます）が証明でき，かつ Y→Xも証明できると，XとYが見かけは違うが，まったく同じである ことが証明できたことになります． なお，X→Y，Y→Xがともに成り立つとき，X，Yはおなじことですが， 数学ではXとYは同値であるといいX⇔Yと表します． 性質１の証明 右の図を参考にして下さい． 線分ABの中点をMとしています． $\triangle PAM$と$\triangle PBM$において $\begin{cases} AM=BM\\PM=PM\\PA=PB\end{cases}$ ３辺がそれぞれ等しいから $\triangle PAM\equiv \triangle PBM$ したがって $\angle PMA=\angle PMB$ さらに $\angle PMA+\angle PMB=180^{\circ}$ であるから $\angle PMA=90^{\circ}$ 逆に点$P$が線分$AB$の垂直２等分線上にあるとき $\triangle PAM$と$\triangle PBM$において $\begin{cases} AM=BM\\PM=PM\\\angle PMA=\angle PMB\end{cases}$ より２辺とその間の角がそれぞれ等しいから $\triangle PAM\equiv \triangle PBM$ $\therefore PA=PB$ 準備は整いました． 定理 $\triangle ABC$の３辺の垂直二等分線は１点で交わる． 
証明２辺$BC,CA$の垂直二等分線の交点を$O$とする． このとき性質1より $OB=OC,OC=OA$ したがって $OA=OB$ が成り立つ．性質１より，点$O$は線分$AB$の垂直二等分線上にあるから3辺 $AB,BC,CA$の垂直二等分線は一点で交わる． この証明より，点$O$は $OA=OB=OC$ を満たすので，$O$を中心とする三頂点$A,B,C$を通る円を描くことができる．この円を $\triangle ABC$の外接円といい，その中心である点$O$を$\triangle ABC$ の外心という． 以上で外心の話は終わりです．ゆっくり理解しながら学べば，数学は 楽しいものです．数学を学ぶとき， いろんな知識を覚えることに目を向けてはいけません． 数学を学びながら，論理的な考え方や分析力を身に着けることが大事です． 証明に目を向け，どうやって証明するのかなと考えながら読むことをお勧めします． 三角形の内心 目次 |