ここではいろいろな曲面を扱います．曲面の性質を調べるとき必要な，第１基本形式，第２基本形式，全曲率， 平均曲率，クリストッフェルシンボル等を計算してありますのでご利用ください． 計算の結果はＰＤＦファイルにまとめ，本文では曲面の形をのせてあります． （T）回転面 回転面の諸量 １．一葉双曲面 次の図はｘ＾２＋ｙ＾２−ｚ＾２＝１です．  ２．二葉双曲面 次の図はｘ＾２＋ｙ＾２−ｚ＾２＝−１です．  ３．トーラス面 次の図の座標曲線は （（３＋cosｕ）cosｖ，（３＋cosｕ）sinｖ，sinｕ） です．  ４．懸垂面 次の図はの座標曲線は （coshucosv,coshusinv,u） です．  ５．曲率−１の定曲率曲面 次の図の座標曲線は （cosucosv,cosusinv,sinu-log((1/cosu)+tanu)） です．  (U)曲面ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ） 曲面ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の諸量 １．楕円放物面 次の図はｚ＝ｘ＾２＋ｙ＾２です．  ２．双曲放物面 次の図はｚ＝ｘ＾２−ｙ＾２です．  固有２次曲面は５種類ありますが，一葉双曲面 ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２−ｚ＾２／ｃ＾２＝１ 双曲放物面ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾／ｂ＾２＝２ｚ は２種類の直線を含みます． ここでは ｘ＾２＋ｙ＾２−ｚ＾２＝１ および ｘ＾２−ｙ＾２＝２ｚ の場合に，含む直線を求めます． ｘ＾２＋ｙ＾２−ｚ＾２＝１を ｘ＾２−ｚ＾２＝１−ｙ＾２と変形し （ｘ＋ｚ）（ｘ−ｚ）＝（１＋ｙ）（１−ｙ） そこで ｘ＋ｚ＝ｔ（１＋ｙ）・・・@ ｘ−ｚ＝（１−ｙ）／ｔ・・・A @×Aを考えることにより，２平面@，Aの交線は一葉放物面 ｘ＾２＋ｙ＾２−ｚ＾２＝１ 上にあります． 同様に ｘ＋ｚ＝ｔ（１−ｙ）・・・B ｘ−ｚ＝（１＋ｙ）／ｔ・・・C の交線も一葉放物面がｘ＾２＋ｙ＾２−ｚ＾２＝１上にあります． 具体的に（１，０，０）を通る曲面上の２直線を求めましょう． @，Aの平面はｔ＝１より ｘ＋ｚ＝１＋ｙ，ｘ−ｚ＝１−ｙ したがって， （１，−１，１）×（１，１，−１）＝（０，２，２） 同様に，B，Cの交線の方向ベクトルは（０，２，−２）  したがって，曲面上の（１，０，０）を通る方向ベクトル（０，１，１），（０，１，−１）の２直線 がこの曲面上の直線です． 曲面上の直線@，AおよびB，Cをもう少し調べましょう． いずれの直線も，曲面上の座標ｘ，ｙ，ｚを定めるとｔが定まるので，各点を通る曲面上の 直線は２本あります． 以後２直線が共に@，AまたはB，Cで決まる直線のとき同種の直線といい， 片方が@，Aで決まり，もう一方がB，Cで決まるとき異種の直線といいます． まず，同種の直線が交わるかどうか調べましょう． ｘ＋ｚ＝ｔ（１＋ｙ），ｘ−ｚ＝（１−ｙ）／ｔ・・・D ｘ＋ｚ＝ｓ（１＋ｙ），ｘ−ｚ＝（１−ｙ）／ｓ・・・E ｔ≠ｓのときｘ，ｙ，ｚが存在するかどうかを調べます． D−Eより （１＋ｙ）（ｔ−ｓ）＝０，（１−ｙ）（１／ｔ−1／ｓ）＝０ したがってｔ＝ｓとなり，ｔ≠ｓのとき，２直線D，Eは交わらないことがわかりました． 次に異種の直線どうしが交わるかどうかを調べましょう． ｘ＋ｚ＝ｔ（１＋ｙ），ｘ−ｚ＝（１−ｙ）／ｔ・・・F ｘ＋ｚ＝ｓ（１−ｙ），ｘ−ｚ＝（１＋ｙ）／ｓ・・・G F−Gを計算すると ｔ（１＋ｙ）＝ｓ（１−ｙ），（１−ｙ）／ｔ＝（１＋ｙ）／ｓ したがって，同じ式となるから，F，Gで余計な式を含むので， F，Gが解けることになります． 実際解くと ｙ＝（ｓ−ｔ）／（ｓ＋ｔ），ｘ＝（ｓｔ＋１）／（ｓ＋ｔ），ｚ＝（ｓｔ−１）／（ｓ＋ｔ） となります． このように一葉双曲面は各点で，この曲面に含まれる２直線をもつ． さらにこの曲面上の直線は２種類に分かれ，同種の直線は 交わらず，異種の直線は交わる． したがって，一葉双曲面を見方を変えると，曲面上の２種類の直線のうち，片方の直線を１本定め，その直線上の各点に 異種の直線を定めることにより得られる直線ということができます． すなわち，この曲面は線織面の１つです． 双曲放物面も線織面になります． ｘ＾２−ｙ＾２＝２ｚ に関しては述べると，２平面 ｘ＋ｙ＝２ｔｚ ｘ−ｙ＝１／ｔ の交線を考えることにより，同種の直線は交わらず，異種の直線は交わることがまったく同様に示すことができ， 線織面であることが示せます． |