2曲面$S_1,S_2$が曲線$C$で接しているときを考えよう．接しているいるとはその点で接平面が同じであることであるし，言い方を変えれば法線
ベクトルが同じとしてもよい．このとき$S_1$における$C$に沿った平行ベクトル場は$S_2$における$C$
に沿った平行ベクトル場である．なぜかというと $C$に沿ったベクトル場を$X(s)$とする．$\mathbb{R}^3$で考えた普通微分 $\dfrac{dX(s)}{ds}$ は変わらない．さらに，共変微分 $\dfrac{DX(s)}{ds}$ は，接平面への正射影であるから，$C$に沿ったベクトル場の共変微分は$S_1$で考えても$S_2$ で考えても同じである． したがって，$S_1$上で，$C$に沿った平行ベクトル場なら，$S_2$上で， $C$に沿った平行ベクトル場である． 
この性質を用いて，半径１の球面$S^2$上の小円に沿った平行ベクトル場が一周回ったときのずれを調べよう．球面$S^2$の小円$C$を与えると，$C$で$S^2$に接する円錐$V$が定義でき(右上図)，円錐は展開すると平面の 一部である扇形になる．平面上で平行ベクトル場を求め，丸めて円錐に戻した円錐上の平行ベクトル場が球面の$C$に沿った平行 ベクトル場である． まず，緯度$\frac{\pi}{6}$の緯線よりなる小円$C$に沿った平行ベクトル場を調べよう． 緯線が接曲線である円錐の頂角は$2\times \frac{\pi}{6}$であり，円錐を展開したときの側面である 扇形の頂角は$\pi$である．ユークリッド平面上での平行は通常考える平行であるから，一周回ったとき のベクトルのずれは$\pi$であることがわかる． さて，ベクトルのずれが$\pi$と書いたが，$\pi$なのか$-\pi$なのか$3\pi$なのかもしれない． この辺を注意深く見てみよう． 球面の小円上を一周する接ベクトルの回転数は1すなわち回転角は$2\pi$であることに注意する． 次に小円で接する円錐の側面 の展開図を考える． 
右図の扇形$OAB$で,$OB$上に点$G$を$AC=BG$を満たすように取る．$\overrightarrow{AC}\parallel \overrightarrow{BF}$ したがって， $\angle AOB=\angle OBF$ 一方，展開図を丸めて$OA,OB$を重ねて円錐を作ると$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{BG}$ は重なり一周回っている．これは, 小円の接線である$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{BE}$は一周しており，$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{BG}$ はそれぞれ$\frac{\pi}{2}$回転してものとみるとわかりやすい．したがって円錐上では $\overrightarrow{BF}$は$\overrightarrow{AC}$ を$2\pi -\angle AOB$回転したもので，この値が 球面の小円に沿って平行移動したとき，一回りしたときの変化角である． 
次に，一般の小円を一周したときの平行ベクトルの変化角を求めるのであるが
これは円錐の側面の展開図である扇形の頂角を求めるだけである．右図は，円錐の頂点と球の中心を含む平面で切った図である． 右図より，球の中心から$a$の距離の平面による切り口である小円が共通接曲線である円錐の側面の展開図である扇形の頂角の大きさは $\dfrac{AB}{AT}\cdot 2\pi=2\pi \sin \angle OAB =2a\pi$ したがって，この小円を一周したときの変化角は $2\pi (1-a)$ である． この式を眺めよう． $a=0$のときは変化角が$2\pi$である．このときは，$C$が大円になり測地線である．測地線の接ベクトル場 は平行ベクトル場であるからともに$2\pi$で一致する. $a$が$1$に近づくほど変化角も小さくなる．一方，$a$が$1$に近づくほど小円の囲む面積も小さくなる． それでは,小円$C$の囲む面積すなわち $x^2+y^2+z^2=1,z\geqq a$ の面積を求めよう． 球面は $x^2+y^2=1$ を$x$軸の周りに回転したものであるから，求める面積は $\displaystyle 2\pi \int_a^1y\sqrt{1+y'^2}dx$ $\displaystyle =2\pi \int_a^1y\sqrt{1+\left(-\dfrac{x}{y}\right)^2}dx$ $=2\pi(1-a)$ したがって，半径１の球面$S^2$で小円に沿った平行ベクトルの変化角は， 小円の囲む面積に等しいことがわかった． 半径の1の球面のガウス曲率１の定曲率曲面であることを考えると，次の定理が成り立つことが予想できる． 定理 $C$は曲面$S$上のなめらかな単純閉曲線，$C$の囲む領域$D$は単連結とする． $C$の弧長による媒介変数表示を $C:(u^1(s),u^2(s)),s\in [0,d]$ とする．このとき，曲線$C$に沿った平行ベクトル場$X(s)$が曲線$C$を一周したときの$X(0)$と$X(d)$の なす角は $\displaystyle \iint_{D}Kd\sigma$ である．ただし，$K$はガウス曲率，$d\sigma$は曲面$S$の面積要素である． 続く 微分幾何の目次 |