$\S4.$座標変換 曲面上の正規直交基底の取り方はいくらでもある．ほかの正規直交基底を取ったとき，何が同じで何が異なるか を確認する必要がある． $\{e_1,e_2,e_3\}$を曲面 $F:f(u,v)$ 上の正規直交基底，$\{d_1,d_2,d_3\}$をもう一つの$F$の正規直交基底とする．ここで，$e_1$から$d_1$にはかった角を $\theta$とすると $d_1=\cos \theta e_1+\sin \theta e_2$ $d_2=-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2$ $d_3=e_3$ である． $\eta _1=df\cdot d_1=\cos \theta \omega _1+\sin \theta \omega _2$ $\eta _2=df\cdot d_2=-\sin \theta \omega _1+\cos \theta \omega _2$ $\eta _{31}=d(d_3)\cdot d_1=de_3\cdot (\cos \theta e_1+\sin \theta e_2)$ $=\cos \theta \omega _{31}+\sin \theta \omega _{32}$ $\eta _{32}=d(d_3)\cdot d_2=de_3\cdot (-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2)$ $=-\sin \theta \omega _{31}+\cos \theta \omega _{32}$ まず，第1基本形式，第２基本形式を計算しよう． $I=\eta_1\eta _1+\eta_2\eta _2$ $=(\cos \theta \omega _1+\sin \theta \omega _2)(\cos \theta \omega _1+\sin \theta \omega _2)$ $+(-\sin \theta \omega _1+\cos \theta \omega _2)(-\sin \theta \omega _1+\cos \theta \omega _2)$ $=\omega _1\omega _1+\omega_2\omega _2$ $-II=\eta_1\eta _{31}+\eta_2\eta _{32}$ $=(\cos \theta \omega _1+\sin \theta \omega _2)(\cos \theta \omega _{31}+\sin \theta \omega _{32})$ $+(-\sin \theta \omega _1+\cos \theta \omega _2)(-\sin \theta \omega _{31} +\cos \theta \omega _{32})$ $=\omega _1\omega _{31}+\omega_2\omega _{32}$ 以上より $\eta _1\eta _1+\eta_2\eta _2=\omega _1\omega _1+\omega_2\omega _2$ $\eta _1\eta _{31}+\eta _2\eta _{32}=\omega _1\omega _{31}+\omega _2\omega _{32}$ がなりたち，第１基本形式，第２基本形式は正規直交座標の取り方によらないことがわかる． これは，第１基本形式，第２基本形式の定義が $I=df\cdot df$ $II=d^2f\cdot n=-df\cdot dn \ \ $ (ここで$d^2f$は2階の微分) と座標の取り方によらない(Intrinsic)定義であるから，当たり前といえる．なお，第２基本形式が 同じなのは，法線ベクトルを同じ向きに取っているからである． 次に面積要素を調べよう． $\eta _1\wedge \eta _2=(\cos \theta \omega _1+\sin \theta \omega _2)\wedge (-\sin \theta \omega _1+\cos \theta \omega _2)=\omega _1\wedge \omega _2$ このように，面積要素も正規直交基底の取り方によらないことがわかる． 次に接続形式$\eta _{13},\omega _{12}$の関係を調べよう． $\eta _{12}=d(d_1)\cdot d_2$ $=d(\cos \theta e_1+\sin \theta e_2)\cdot (-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2)$ $=\{-\sin \theta d\theta e_1+\cos \theta (\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3)$ $+\cos \theta d\theta e_2+\sin \theta (\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3)\}\cdot (-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2)$ $=\omega _{12}+d\theta$ ここで導き出した $\eta _{12}=\omega _{12}+d\theta$ は大切な関係式で，次章で用います． (曲面と正規直交基底の項目終わり) ベクトルの指数定理とガウス・ボンネの定理 微分幾何の目次 |