曲面の第２基本形式については次のPDFファイルをご覧ください． 曲面の第２基本形式 以下，具体的な例を扱います． まず，ｚ軸の周りの回転面からはじめます．  例１ ｘｚ平面の曲線 ｘ＝ｇ（ｖ），ｚ＝ｈ（ｖ） をｚ軸のの周りに回転して出来た曲面は ｆ＝（ｇ（ｖ）cosｕ，ｇ（ｖ）sinｕ，ｈ（ｖ）） です． 原点を中心とする半径ｒの球は ｇ（ｖ）＝ｒcosｖ，ｈ（ｖ）＝ｒsinｖ で ｆ＝（ｒcosｕcosｖ，ｒsinｕcosｖ，ｒsinｖ） です．ちなみに地球で言うとｕが経度（東経は＋，西経は−），ｖが緯度（北緯が＋）です．  ｚ軸の周りの回転曲面 ｆ＝（ｇ（ｖ）cosｕ，ｇ（ｖ）sinｖ，ｈ（ｖ）） の第１基本形式，第２基本形式を求めます． ｆｕ＝（−ｇ（ｖ）sinｕ，ｇ（ｖ）cosｕ，０） ｆｖ＝（ｇ’（ｖ）cosｕ，ｇ’（ｖ）sinｕ，ｈ’（ｖ）） ｆｕｕ＝（−ｇ（ｖ）cosｕ，−ｇ（ｖ）sinｕ，０） ｆｕｖ＝（−ｇ’（ｖ）sinｕ，ｇ’（ｖ）cosｕ，０） ｆｖｖ＝（ｇ”（ｖ）cosｕ，ｇ”（ｖ）sinｕ，ｈ”（ｖ）） ｎ＝（−ｇ（ｖ）sinｕ，ｇ（ｖ）cosｕ，０）×（ｇ’（ｖ）cosｕ，ｇ’（ｖ）sinｕ，ｈ’（ｖ））／│（長さ）│ ＝（ｈ’cosu，ｈ’sinｕ，−ｇ’）／（ｇ’＾２＋ｈ’＾２）＾（１／２） Ｅ＝ｆｕ・ｆｕ＝ｇ＾２ Ｆ＝ｆｕ・ｆｖ＝０ Ｇ＝ｆｖ・ｆｖ＝ｇ’＾２＋ｈ’＾２ したがって， T＝ｇ＾２ｄｕ＾２＋（ｇ’＾２＋ｈ’＾２）ｄｖ＾２ です．このように座標軸の周りの回転面は，座標曲線が直交しており，これはとても便利で扱いやすい曲面です． Ｌ＝ｆｕｕ・ｎ＝ｇｈ’／（ｇ’＾２＋ｈ’＾２）＾（１／２） Ｍ＝ｆｕｖ・ｎ＝０ Ｎ＝ｆｖｖ・ｎ＝（ｇ’ｈ”−ｇ”ｈ’）／（ｇ’＾２＋ｈ’＾２）＾（１／２） したがって，第２基本形式は U＝｛１／（ｇ’＾２＋ｈ’＾２）＾（１／２）｝｛ｇｈ’ｄｕ＾２＋（ｇ’ｈ”−ｇ”ｈ’）ｄｖ＾２｝ となります． したがって，第２基本形式もｄｕｄｖの係数が０です． 後で学びますが，このように第１，第２基本形式のｄｕｄｖの係数が０の座標を曲率線座標といい，扱いやすい座標で究極の座標です． このように座標軸の周りの回転面はとても扱い曲面です． なお，球面 ｆ＝（ｒcosｕcosｖ，ｒsinｕcosｖ，ｒsinｖ) は ｇ（ｖ）＝ｒcosｖ，ｈ（ｖ）＝ｒsinｖ で T＝ｒ＾２（cosｖ）＾２ｄｕ＾２＋ｒ＾２ｄｖ＾２ U＝ｒ（cosｖ）＾２ｄｕ＾２＋ｒｄｖ＾２ 例２（固有２次曲面） 次の例に入る前に，固有２次曲面の解説をします． ｘ，ｙの２次式で表せる曲線は楕円，双曲線，放物線だけでした， 平面でない曲面のうち扱いが簡単なものはｘ，ｙ，ｚの２次式で表せる曲面です． この曲面を２次曲面といいます．微分幾何で具体例を計算するのは，この２次曲面の場合が多いのです． ２次曲面は次の５つで，これらの５つの２次曲面を固有２次曲面といいます． この５つに限ることは，ｘ，ｙ，ｚの２次式を，回転や平行移動でｘｙ，ｙｚ，ｚｘの項や １次式を消去出来ることを考えると分かると思います． （T）楕円面 ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２＋ｚ＾２／ｃ＾２＝１ （U）一葉双曲面 ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２−ｚ＾２／ｃ＾２＝１ （V）二葉双曲面 ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２−ｚ＾２／ｃ＾２＝ー１ （W）楕円放物面 ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２＝２ｚ （X）双曲放物面 ｘ＾２／ａ＾２−ｙ＾２／ｂ＾２＝２ｚ 以下，それぞれの場合に第１基本形式，第２基本形式を計算します．  （U）一葉双曲面 ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２ −ｚ＾２／ｃ＾２＝１ と表せる右の図形です．媒介変数表示は （ａcosｈｕcosｖ， ｂcosｈｕsinｖ，ｃsinｈｕ） となります． ここで，双曲線関数cosｈｘ，sinｈｘの復習をします． 定義は cosｈｘ ＝（ｅ＾ｘ＋ｅ＾（−ｘ））／２， sinｈｘ ＝（ｅ＾ｘ−ｅ＾（−ｘ））／２ です． 当然微分をすると （cosｈｘ）’＝sinｈｘ （sinｈｘ）’＝cosｈｘ となります． ｙ＝sinｈｘ＝（ｅ＾ｘ−ｅ＾（−ｘ））／２ の逆関数は ｘ＝（ｅ＾ｙ−ｅ＾（−ｙ））／２ とおき，ｙについて解くと ｙ＝ｌｏｇ（ｘ＋（ｘ＾２＋１）＾（１／２）） ｙ＝cosｈｘ＝（ｅ＾ｘ＋ｅ＾（−ｘ））／２ の逆関数は少し解説が必要． ｘ，ｙを入れ替えてｙについて解くと， ｙ＝ｌｏｇ（ｘ±（ｘ＾２−１）＾（１／２）） ここで ｛ｘ＋（ｘ＾２−１）＾（１／２）｝｛ｘ−（ｘ＾２−１）＾（１／２）＝１ より ｙ＝±ｌｏｇ（ｘ＋（ｘ＾２−１）＾（１／２）） となります，  sinｈｘ，cosｈｘを双曲線関数という理由を説明します． 単位円上の点は右図の扇形ＯＡＰの面積をａ／２（すなわち∠ＰＯＡ＝ａ）と おくと （cosａ，sinａ） と表せます． 同様のことを，双曲線 ｘ＾２−ｙ＾２＝１ でやってみましょう． ｙ＝（１／２）｛ｘ（ｘ＾２＋１）＾（１／２）＋ｌｏｇ｛ｘ＋（ｘ＾２＋１）＾（１／２）｝〕 を微分すると  ｙ’＝（ｘ＾２＋１）＾（１／２） より（実際微分してみましょう） ＯＡ，ＯＰ，弧ＡＰで囲まれた部分の面積をａ／２とおくと  一方，逆関数の性質より 逆にｘ，ｙをａで表せば ｘ＝cosｈａ，ｙ＝sinｈａとなります． すなわち， 双曲線 ｘ＾２−ｙ＾２＝１ 上の点はａを用いて ｘ＝cosｈａ，ｙ＝sinｈａ と表せるわけです．すなわち ｘ＾２／ａ＾２−ｙ＾２／ｂ＾２＝１ の媒介変数表示は， ｘ＝ａcosｈｔ，ｙ＝ｂsinｈｔ となります． このように，双曲線関数があると双曲線が円と同じように扱え便利です． 本題に戻りましょう． これから計算するのは一葉双曲面で ｆ＝（ａcosｈｕcosｖ，ｂcosｈｕsinｖ，ｃsinｈｕ） と媒介変数表示される曲面で，概形は右の図のようになります． ここではａ＝ｂ＝ｃ＝１の場合計算します． 注意が必要です．ａ＝ｂの場合はｚ軸の周りの回転面でＦ＝０，Ｍ＝０となりますが，ａ≠ｂのときは回転面ではありません． そのときはＦ≠０，Ｍ≠０となります． ｆｕ＝（sinｈｕcosｖ，sinｈｕsinｖ,coshｕ） ｆｖ＝（−cosｈｕsinｖ，cosｈｕcosｖ，０） ｆｕｕ＝（cosｈｕcosｖ，cosｈｕsinｖ，sinｈｕ） ｆｕｖ＝（−sinｈｕsinｖ，sinｈｕcosｖ,０） ｆｖｖ＝（−cosｈｕcosｖ，−cosｈｕsinｖ，０） ｎ＝−（cosｈｕcosｖ，cosｈｕsinｖ，sinｈｕ）／｛（cosｈｕ）^２＋（sinｈｕ）^２｝^(1/2) Ｅ＝（cosｈｕ）＾２＋（sinｈｕ）＾２ Ｆ＝０ Ｇ＝（cosｈｕ）＾２ Ｌ＝−１／｛（cosｈｕ）＾２＋（sinｈｕ）＾２｝＾（１／２） Ｍ＝０ Ｎ＝（cosｈｕ）＾２／｛（cosｈｕ）＾２＋（sinｈｕ）＾２｝＾（１／２） （V）二葉双曲面 この曲面は ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２−ｚ＾２／ｃ＾２＝−１・・・@  と表せる曲面です．この曲面はｘｙ平面の上と下に１つずつあらわれます． 標準的媒介変数表示は ｆ＝（ａsinｈｕcosｖ，ｂsinｈｕsinｖ，ｃcosｈｕ）・・・A となりますが．媒介変数表示を見れば分かるように，Aは連結な曲面を表します． 実際上半分しか表せません．その図が右図です． 下半分は ｆ＝（ａsinｈｕcosｖ，ｂsinｈｕsinｖ，−ｃcosｈｕ） となります．（右下図）  この曲面は回転面ではありませんが，ａ＝ｂのとき回転面です． ここでは，ａ＝ｂ＝ｃ＝１のとき，すなわち ｆ＝（sinｈｕcosｖ，sinｈｕsinｖ，cosｈｕ） の第１，第２基本形式を求めます． ｆｕ＝（cosｈｕcosｖ，cosｈｕsinｖ，sinｈｕ） ｆｖ＝（−sinｈｕsinｖ，sinｈｕcosｖ，０） ｆｕｕ＝（sinｈｕcosｖ，sinｈｕsinｖ，cosｈｕ） ｆｕｖ＝（−cosｈｕsinｖ，cosｈｕcosｖ，０） ｆｖｖ＝（−sinｈｕcosｖ，−sinｈｕsinｖ，０） より凵＝o（cosｈｕ）＾２＋（sinｈｕ）＾２｝＾（１／２）とおくと ｎ＝（−cosｈｕcosｖ，−cosｈｕsinｖ，sinｈｕ）／ Ｅ＝（cosｈｕ）＾２＋（sinｈｕ）＾２ Ｆ＝０ Ｇ＝（sinｈｕ）＾２ Ｌ＝１／ Ｍ＝０ Ｎ＝（sinｈｕ）＾２／ (X)(双曲放物面) 通称馬の鞍と呼ばれる曲面です． 媒介変数表示ですと  （ｕ，ｖ，ａｕ＾２−ｂｖ＾２） または （ａ（ｕ＋ｖ）， ｂ（ｕ−ｖ），２ｕｖ） と表します．ｘ，ｙ，ｚの関係式なら ｚ＝ａｘ＾２−ｂｙ＾２ です．この曲線は，ｘ＝０を代入すると放物線，ｙ＝０を代入すると反対向きの 放物線になります． また，接平面に関して上下に曲面が現れるのに注目しましょう． ここでは ｆ＝（ｕ，ｖ，ｕ＾２−ｖ＾２） の場合に第１基本形式，第２基本形式を計算します． ｆｕ＝（1，０，２ｕ） ｆｖ＝（０，１，−２ｖ） Ｅ＝１＋４ｕ＾２ Ｆ＝−４ｕｖ Ｇ＝１＋４ｖ＾２ ｆｕｕ＝（０，０，２） ｆｕｖ＝（０，０，０） ｆｖｖ＝（０，０，−２） ｎ＝（−２ｕ，２ｖ，１）／（４ｕ＾２＋４ｖ＾２＋１）＾（１／２） Ｌ＝２（４ｕ＾２＋４ｖ＾２＋１）＾（−１／２） Ｍ＝０ Ｎ＝−２（４ｕ＾２＋４ｖ＾２＋１）＾（−１／２） したがって， T＝（１＋４ｕ＾２）ｄｕ＾２−４ｕｖｄｕｄｖ＋（１＋４ｖ＾２）ｄｖ＾２ U＝２（４ｕ＾２＋４ｖ＾２＋１）＾（−１／２）（ｄｕ＾２−ｄｖ＾２） となります． この曲面は ＬＮ−Ｍ＾２＜０ が成り立ちます． 他の固有２次曲面は第４部の曲面便利帳で扱います． 例３(トーラス面)  まず，どのような曲面かを説明します． ｘｚ平面のｚ軸と交わらない円をｚ軸の周りに回転した回転面です． ｚ軸から円の中心までの距離をＲ，半径をｒとすると円の方程式は ｘ＝Ｒ＋ｒcosu， ｚ＝ｒsinｕ・・・@ と表せるので，@をｚ軸の周りに回転した曲面は ｆ＝（（Ｒ＋ｒcosu）cosｖ，Ｒ＋ｒcosu）sinｖ，ｒsinｕ） です． この曲面は，いろいろな例を説明するのにとても便利な曲面です． ここでは，Ｒ＝２，ｒ＝１の場合計算します．すなわち， ｆ＝（（２＋cosu）cosｖ，（２＋cosu）sinｖ，sinｕ） fu＝（-sinucosv,-sinusinv,cosu） fv＝（-（２＋cosu）sinｖ，（２＋cosu）cosｖ，０) fuu＝−(cosucosv,cosusinv,sinu） fuv＝（sinusinv,-sinucosv,０） fvv＝-（（２＋cosu）cosｖ，（２＋cosu）sinｖ，０) n＝−（cosucosv,cosusinv,sinu） Ｅ＝１，Ｆ＝０，Ｇ＝（２＋cosｕ）＾２ Ｌ＝１，Ｍ−０，Ｎ＝（２＋cosｕ）cosｕ |
微分幾何