$\S11. \ $例 今まではSteiner ratio を計算するため，Steiner 点を定めてから議論してきたが，ここでは 3点$A,B,C$が与えれいるとき $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB=120^{\circ}$ を満たす点$P$は, $AP+BP+CP$ を最小にすることを具体例で確認する． 
例$A(5i),B(i),C(5+i)$及び任意の点$P(x+iy)$とする． 2点$z,w$間の距離は $\log \dfrac{1+|\dfrac{z-w}{z-\overline{w}}|}{1-|\dfrac{z-w}{z-\overline{w}}|}$ より $a=BC=3.294462292$ $b=CA=2.312634418$ $c=AB=1.609437912$ ここで，連立方程式 $\angle BPC =\dfrac{2\pi}{3},\angle CPA =\dfrac{2\pi}{3}$ を解くと(Newton法を用いた) $x=8536135466,y=3.970233069$  この$P(x+iy)$が $AP+BP+CP$ を最小にする点であること確認しよう． $p=AP,q=BP,r=CP,f(x,y,z)=p+q+r$ とおく． 連立方程式 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=0,\dfrac{\partial f}{\partial y}=0$ を解くと， $x=8536135466,y=3.970233069$ となり完全に一致する．  
さらにhessianを計算すると正であるので，
極小値であることは分かるが最小値であるかどうかまだ判断できない．最小値になることは，関数 $z=f(x,y)$ を図示するの分かりやすい． $0\leqq x,y \leqq 5$ おけるグラフは右図である．これで全体の様子は分かる． さらに， $0.7\leqq x\leqq 1$ $3.8\leqq y\leqq 4.1$ $3.858\leqq z\leqq 3.86$ 
の範囲で画いたのが右図である．これで，上で求めた$x,y$が $AP+BP+CP$ を最小にする点であることが分かった． 
さて，Steiner 点は$\angle BPC=\angle CPA=\angle APB=120^{\circ}$ を満たす点である． そこで， $\angle BPC=120^{\circ}$ $\angle CPA=120^{\circ}$ $\angle APB=120^{\circ}$ のそれぞれの式を満たす軌跡を図示したのが右図である． ポアンカレモデル上で見込む角が一定の軌跡がどのような図形になるのであろうか． 
$A(-2+i),B(2+i)$のとき$\angle APB=90^{\circ}$ の軌跡を求めると右図である． 方程式は４次曲線で $x^4+2x^2(y^2-3)+y^4-26y^2+25=0$ であり，扱うのは相当難しそうである． 目次に戻る 微分幾何 |