18.線織面と可展面

§5．包絡面

可展面の持つ性質に
「1媒介変数平面族の包絡面になっている」
がある．
可展面とは線織面
$S:\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$
のうち，母線上の接平面が変わらない曲面のことである．
したがって，曲線$\overrightarrow{g}(u)$に沿った接平面の方程式族を
$F(x,y,z,u)=0 \ \cdots (1)$
とおけば，曲面$S$は平面族(1)の包絡面になる．すなわち
$S$が可展面　$\Longrightarrow \ S$はある1媒介変数平面族の包絡面
が成り立つ．ここで，接平面族(1)の媒介変数は１つ$u$だけである ことが大切でこの平面族を単媒介変数平面族という．
ちなみに，任意の曲面$\overrightarrow{f}(u,v)$は各点の接平面である2媒介変数平面族
$F(x,y,z,u,v)$
の包絡面である．このことから単媒介変数ということが重要であることがわかる．
可展面は単媒介変数平面族の包絡面になるが，問題はこの逆
単媒介変数平面族の包絡面は可展面か
です．ここでは，この問題を解決する．

曲面族の包絡面の定義からはじめよう．
$\mathbb{R}^3$における曲面族$S_u$を方程式
$F(x,y,z;u)=0$
と表す．
ただし，媒介変数$u$が異なるときは異なる曲面を表し，さらに偏導関数$F_x,F_y,F_z$は同時には$0$ にならないとする．
ここで各曲面$F(x,y,z;u)=0$とは異なる曲面$S$が存在して，$S$上の各点$P(x_0,y_0,z_0)$に対して, ある$u_0$が存在して,
$\bullet \ P(x_0,y_0,z_0)$は曲面$F(x,y,z;u_0)=0$上にある．
$\bullet \ P(x_0,y_0,z_0)$における曲面$F(x,y,z;u_0)=0$の接平面と曲面$S$の接平面は同じ平面（法線ベクトルが 同じ）
を満たすとき，曲面$S$を単媒介変数曲面族$F(x,y,z;u)=0$の包絡面という．

単媒介変数曲面族$F(x,y,z;u)=0$の包絡面$S$を求めよう．
包絡面$S$上の点を$(x,y,z)$とすると，$(x,y,z)$は単媒介変数曲面族の中の媒介変数$u$が定まる．したがって， 媒介変数$u$は包絡面$S$上の関数であり，この関数を$u(x,y,z)$とおく．包絡面の定義より
$u(x,y,z)\neq \text{定数}$
したがって，包絡面$S$上の点$(x,y,z)$は
$F(x,y,z;u(x,y,z))=0$
を満たす．
微分すると，
$F_xdx+F_ydy+F_zdz+\dfrac{\partial F}{\partial u}du=0$
一方$(x,y,z)$は$u_0$が存在して
$F(x,y,z;u_0)=0$
上の点でである．したがって，
$F_xdx+F_ydy+F_zdz=0$
2つの曲面
$F(x,y,z;u(x,y,z))=0,F(x,y,z;u_0)=0$
は$(x,y,z)$で接し，$(dx,dy,dz)$は曲面$S$の 接ベクトルであり，$(F_x,F_y,F_z)$は2つの曲面の法線ベクトルである．したがって，
$\dfrac{\partial F}{\partial u}du=0$
さらに$u(x,y,z)\neq \text{定数}$より$du\neq 0$.
$\therefore \dfrac{\partial F}{\partial u}=0$.
すなわち，包絡面$S$上の点$(x,y,z)$は，
$\dfrac{\partial F}{\partial u}=0$
をみたす．
以上より，単媒介変数曲面族$F(x,y,z;u)=0$の包絡面上の点は
$\begin{cases} F(x,y,z;u)=0 \\ \dfrac{\partial F(x,y,z;u)}{\partial u}=0 \end{cases} \ \ \cdots (1)$
を満たす．
逆も確認しよう．すなわち， $F_x,F_y,F_z$が同時に$0$にならず，$u(x,y,z)\neq \text{定数}$なら，$(1)$を満たす点 は包絡面上のあることを示そう．
$(1)$で定まる曲面を$S^{\ast}$とおく．
$P(x,y,z)$が$S^{\ast}$上の点とし，その点に対応する媒介変数を$u(x,y,z)$とする．
$(dx,dy,dz)$を$P$における接ベクトルとすると，$(1)$の第1式を微分するすることにより，
$F_xdx+F_ydy+F_zdz+\dfrac{\partial F}{\partial u}du=0$
さらに$\frac{\partial F}{\partial u}=0$であるから $F_xdx+F_ydy+F_zdz=0$
$F_x,F_y,F_z$が同時に$0$でないから$S^{\ast}$と$F(x,y,z;u)$は接することを意味し， $S^{\ast}$は包絡面に含まれることがわかる．

例
単媒介変数曲面族が与えられたとき(1)より媒介変数を消去すれば包絡面が求められる．
これは平面の場合も同様で，たとえば，
曲線$y=x^2$の上の点$(t,t^2)$における接線の方程式は
$y-t^2=2t(x-t)$
$f(x,y,t)=t^2-2tx+y=0$
一方，単媒介変数曲線(直線)族$f(x,y;t)=0$の包絡線は
$\begin{cases} F(x,y;t)=t^2-2tx+y=0 \\ \dfrac{\partial F(x,y;t)}{\partial }=2t-2x=0 \end{cases}$
より$t$を消去した$y=x^2$である．

単媒介変数曲面族$F(x,y,z;u)=0$の包絡面を
$\begin{cases} F(x,y,z;u)=0 \\ \dfrac{\partial F(x,y,z;u)}{\partial u}=0 \end{cases}$
とみると，$u$を固定すれば，一つの曲線を表し，この曲線全体が包絡面になっていることがわかる．
この曲線を包絡面の特性曲線という． 包絡面は特性曲線によって形成されりいるといえる．
なお，
大槻富之助　微分幾何学　朝倉書店
は，特性曲線も用いて包絡面を説明している．

準備は整った．
可展面は定義より単媒介変数平面族の包絡面になっていることがわかるが，これから その逆である
単媒介変数平面族の包絡面は可展面である
ことを示そう．
単変数媒介変数平面族を，各平面の法線ベクトルを
$\overrightarrow{n}(u)=(a(u),b(u),c(u))$
とし，
$a(u)x+b(u)y+c(u)z+p(u)=0$
とおく．
ここで，
$\overrightarrow{n}(u)\nparallel (\overrightarrow{n})'(u)$
と仮定する．もし
$\overrightarrow{n}(u)\parallel (\overrightarrow{n})'(u)$
が成り立つなら$\overrightarrow{n}(u)$は一定の方向を向き，与えられた平面族は互いに平行になり， 包絡面を持たない．
与えられた平面族の包絡面を求めよう．
$\begin{cases} a(u)x+b(u)y+c(u)z+p(u)=0 \\ a'(u)x+b'(u)y+c'(u)z+p'(u)=0 \end{cases}$
ともに平面であるから，特性曲線は直線である．
$u$を与えれば特性曲線(直線)がきまり，特性曲線全体が包絡面を構成する．
ここで，$u$が異なれば特性曲線も異なることを仮定する.$u$が異なるのに 特性曲線が同じなら，与えられた平面族が1つの直線を共有することになり，この時も 包絡面は存在しない．
包絡面は直線により構成されるので，線織面であることはわかった．
$\begin{cases} a(u)x+b(u)y+c(u)z+p(u)=0 \\ a'(u)x+b'(u)y+c'(u)z+p(u)=0 \end{cases}$
の交線すなわち特性曲線を直線$l_u$とおく．
包絡面上の特性曲線$l_u$と交わる曲線を
$C:(f(u),g(u),h(u))$
とおく．
$C$は包絡面上より
$\begin{cases} a(u)f(u)+b(u)g(u)+c(u)h(u)+p(u)=0 \\ a'(u)f(u)+b'(u)g(u)+c'(u)h(u)+p'(u)=0 \end{cases}$
を満たす．
第１式を微分し，第２式をもちいれば
$a(u)f'(u)+b(u)g'(u)+c(u)h'(u)=0　\cdots (2)$
となる．
以下ベクトルで表示する．
与えられた単媒介変数平面族の各平面の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}(u)$, 特性曲線の方向ベクトルは$\overrightarrow{n}(u)\times (\overrightarrow{n})'(u)$, 曲線$C$を$\overrightarrow{g}(u)$とすれば，包絡面は
$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{n}(u) \times (\overrightarrow{n})'(u)$
したがって，包絡面が可展面であることは
$\det ((\overrightarrow{g})'(u),\overrightarrow{n} \times (\overrightarrow{n})',\overrightarrow{n} \times (\overrightarrow{n})")=0$
を示せばよい．
$\det ((\overrightarrow{g})'(u),\overrightarrow{n} \times (\overrightarrow{n})',\overrightarrow{n} \times (\overrightarrow{n})")$
$=\{(\overrightarrow{g})'(u)\times (\overrightarrow{n} \times (\overrightarrow{n})')\}\cdot (\overrightarrow{n} \times (\overrightarrow{n})")$ $=\{((\overrightarrow{g})'\cdot (\overrightarrow{n})')\overrightarrow{n}- ((\overrightarrow{g})'\cdot \overrightarrow{n})(\overrightarrow{n})'\} \cdot ((\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n})")$
$=-((\overrightarrow{g})'\cdot \overrightarrow{n})\det((\overrightarrow{n})',\overrightarrow{n}, (\overrightarrow{n})")=0$
最後の等式の根拠は，すでに証明した$(2)$より
$(\overrightarrow{g})'\cdot \overrightarrow{n}=a(u)f'(u)+b(u)g'(u)+c(u)h'(u)=0$
である．

ここで示した内容をまとめると次のようになる．
命題
単変数平面族が平行面族や1つの直線を共有する平面族でないとき，1つの包絡面が 存在して，この曲面は可展面である．
(線織面と可展面の項目終わり)






微分幾何