18.線織面と可展面

§2.可展面

定義
曲面$S$は線織面でありさらに曲面$S$の各母線上の接平面が唯一つであるとき,この曲面$S$を可展面という.

分かりづらい定義です.次の意味です.

1つの母線上に点$P$をとる.$P$が母線上を動くとき,$P$における接平面が変らないという意味です.
例えば,前のページの例1の常らせん面を見てみましょう.
母線の$z$軸の近くの接平面は$xy$平面に垂直に近いですが,$z$軸から離れるに従い$xy$平面に平行に近づきます.
もし分かりづらければ曲面の法線ベクトルを計算しましょう.

可展面が$K\equiv 0$の曲面とある条件のもと同値であることを示します.

まず,可展面すなわち,母線上接平面が変らないという条件を調べましょう.

命題1
線織面
$S:\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$
が可展面であるための必要十分条件は
$\det ((\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})')=0$
である.
なお,$(\ast)'$は$u$の導関数である.

証明
$\overrightarrow{f}_u=(\overrightarrow{g})'+v(\overrightarrow{h})',$
$\overrightarrow{f}_v=\overrightarrow{h}$
より,
$\overrightarrow{f}_u\times \overrightarrow{f}_v =((\overrightarrow{g})'+v(\overrightarrow{h})')\times \overrightarrow{h}$
線織面$S$が可展面であることは,母線上すなわち$v$線上における 法線ベクトルが互いに 平行であることである.$u$を固定し,異なる$v_1,v_2$において法線ベクトルが平行であることは
$\{((\overrightarrow{g})'+v_1(\overrightarrow{h})')\times \overrightarrow{h}\} \times \{((\overrightarrow{g})'+v_2(\overrightarrow{h})')\times \overrightarrow{h}\} =\overrightarrow{0}$
したがって,
$(v_2-v_1)((\overrightarrow{g})'\times \overrightarrow{h})\times ((\overrightarrow{h})'\times \overrightarrow{h})=\overrightarrow{0}$
であり, 外積についての公式
$(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{w} =(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{v} -(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})\overrightarrow{u}$
を用いて,
$((\overrightarrow{g})'\times \overrightarrow{h})\times ((\overrightarrow{h})'\times \overrightarrow{h})$
$=\{(\overrightarrow{g})'\cdot ((\overrightarrow{h})'\times h)\} \overrightarrow{h}$
であるから $S$が可展面なら
$\det ((\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})')=0$
である.

証明からわかるように,母線($v$線)上の異なる2点における法線ベクトルが平行なら,母線上のすべての法線ベクトル が平行である,したがって,可展面は
「線織面で母線上の点で,その点における法線ベクトルが平行である2点が存在する」
と言い換えてもよい.

可展面の定義より,錐面$((\overrightarrow{g})'=\overrightarrow{0})$や 柱面$((\overrightarrow{h})'=\overrightarrow{0})$が可展面であることがわかるが, 他$((\overrightarrow{g})'\neq\overrightarrow{0}$かつ$ (\overrightarrow{h})'\neq\overrightarrow{0})$ にあるのだろうか.
この問題に答えるのが次の命題である.

命題2
可展面は柱面,錐面,およびある空間曲線の接線面のいずれかである.

証明
命題1より,線織面
$S:\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$
が可展面であるための必要十分条件は
$\det ((\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})')=0$
である.
$(\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})'$は一次独立でないから
$a(\overrightarrow{g})'+b\overrightarrow{h}+c(\overrightarrow{h})' =\overrightarrow{0} \cdots (1)$
をみたす同時$0$にならない$a,b,c$が存在する.
いくつかに分けて調べる.
$a=0$のとき.
$b\overrightarrow{h}+c(\overrightarrow{h})'=\overrightarrow{0}$
より
$\overrightarrow{h}\parallel (\overrightarrow{h})'$
したがって,$h(u)$は一定の方向であるから柱面である.
以下$a\neq 0$のときを考える.
$(1)$式の両辺を$a$でわり,新しく$a,b$を置き換え,
$(\overrightarrow{g})'=a\overrightarrow{h}+b(\overrightarrow{h})'$
とおく.
$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$
$=(\overrightarrow{g}(u)-b(u)\overrightarrow{h}(u))+(v+b(u)) \overrightarrow{h}(u)$
ここで,
$\overrightarrow{g^{\ast}}=\overrightarrow{g}(u)-b(u)\overrightarrow{h}(u)$
とおけば,
$=\overrightarrow{g^{\ast}}+(v+b)\overrightarrow{h}\cdots (1)$

$(\overrightarrow{g^{\ast}})'=(a-b')\overrightarrow{h}\cdots (2)$
に注意して
$a=b'$のとき
$(\overrightarrow{g^{\ast}})'=\overrightarrow{0}$
より$\overrightarrow{g^{\ast}}$は定ベクトル.
$\begin{cases} \bar{u}=u \\ \bar{v}=b(u)+v \end{cases}$
と媒介変数変換したとき,
$\dfrac{\partial (\bar{u},\bar{v})}{\partial (u,v)} =\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b'(u) & 1 \end{pmatrix}=1$
より$\bar{u},\bar{v}$が新しい媒介変数表示となる.
したがって
$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g^{\ast}} +\bar{v}\overrightarrow{h}(\bar{u})$
で$\overrightarrow{g^{\ast}}$は定ベクトルであるから錐面である.
残されたのは,$a\neq b'$の場合である.$(1)$より
$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g^{\ast}} +(v+b)\overrightarrow{h}$
で,さらに$(2)$より
$\overrightarrow{h}=\dfrac{(\overrightarrow{g^{\ast}})'}{a-b'}$
そこで,
$\begin{cases} \bar{u}=u \\ \bar{v}=\dfrac{v+b(u)}{a(u)-b'(u)}\end{cases}$
と変数変換をすると,
$\dfrac{\partial (\bar{u},\bar{v})}{\partial (u,v)} =\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \ast & \dfrac{1}{a(u)-b'(u)} \end{pmatrix}\neq 0$
より$\bar{u},\bar{v}$が新しい媒介変数表示となる. この媒介変数表示で,
$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g^{\ast}} +(v+b)\overrightarrow{h}$
$=\overrightarrow{g^{\ast}}(\bar{u})+\bar{v}(\overrightarrow{g^{\ast}})'(\bar{u})$
したがって,曲線$\overrightarrow{g^{\ast}}(\bar{u})$の接線曲線である.
以上で命題2が証明された.


ガウス曲率0の曲面


微分幾何