§2．可展面 定義 曲面$S$は線織面でありさらに曲面$S$の各母線上の接平面が唯一つであるとき，この曲面$S$を可展面という． 分かりづらい定義です．次の意味です． １つの母線上に点$P$をとる．$P$が母線上を動くとき，$P$における接平面が変らないという意味です． 例えば，前のページの例１の常らせん面を見てみましょう． 母線の$z$軸の近くの接平面は$xy$平面に垂直に近いですが，$z$軸から離れるに従い$xy$平面に平行に近づきます． もし分かりづらければ曲面の法線ベクトルを計算しましょう． 可展面が$K\equiv 0$の曲面とある条件のもと同値であることを示します． まず，可展面すなわち，母線上接平面が変らないという条件を調べましょう． 命題1 線織面 $S:\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$ が可展面であるための必要十分条件は $\det ((\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})')=0$ である． なお，$(\ast)'$は$u$の導関数である． 証明 $\overrightarrow{f}_u=(\overrightarrow{g})'+v(\overrightarrow{h})',$ $\overrightarrow{f}_v=\overrightarrow{h}$ より， $\overrightarrow{f}_u\times \overrightarrow{f}_v =((\overrightarrow{g})'+v(\overrightarrow{h})')\times \overrightarrow{h}$ 線織面$S$が可展面であることは，母線上すなわち$v$線上における 法線ベクトルが互いに 平行であることである．$u$を固定し，異なる$v_1,v_2$において法線ベクトルが平行であることは $\{((\overrightarrow{g})'+v_1(\overrightarrow{h})')\times \overrightarrow{h}\} \times \{((\overrightarrow{g})'+v_2(\overrightarrow{h})')\times \overrightarrow{h}\} =\overrightarrow{0}$ したがって， $(v_2-v_1)((\overrightarrow{g})'\times \overrightarrow{h})\times ((\overrightarrow{h})'\times \overrightarrow{h})=\overrightarrow{0}$ であり， 外積についての公式 $(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{w} =(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{v} -(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})\overrightarrow{u}$ を用いて， $((\overrightarrow{g})'\times \overrightarrow{h})\times ((\overrightarrow{h})'\times \overrightarrow{h})$ $=\{(\overrightarrow{g})'\cdot ((\overrightarrow{h})'\times h)\} \overrightarrow{h}$ であるから $S$が可展面なら $\det ((\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})')=0$ である． 証明からわかるように，母線($v$線)上の異なる2点における法線ベクトルが平行なら，母線上のすべての法線ベクトル が平行である，したがって，可展面は 「線織面で母線上の点で，その点における法線ベクトルが平行である2点が存在する」 と言い換えてもよい． 可展面の定義より，錐面$((\overrightarrow{g})'=\overrightarrow{0})$や 柱面$((\overrightarrow{h})'=\overrightarrow{0})$が可展面であることがわかるが， 他$((\overrightarrow{g})'\neq\overrightarrow{0}$かつ$ (\overrightarrow{h})'\neq\overrightarrow{0})$ にあるのだろうか． この問題に答えるのが次の命題である． 命題2 可展面は柱面，錐面，およびある空間曲線の接線面のいずれかである． 証明 命題1より，線織面 $S:\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$ が可展面であるための必要十分条件は $\det ((\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})')=0$ である． $(\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})'$は一次独立でないから $a(\overrightarrow{g})'+b\overrightarrow{h}+c(\overrightarrow{h})' =\overrightarrow{0} \cdots (1)$ をみたす同時$0$にならない$a,b,c$が存在する． いくつかに分けて調べる． $a=0$のとき． $b\overrightarrow{h}+c(\overrightarrow{h})'=\overrightarrow{0}$ より $\overrightarrow{h}\parallel (\overrightarrow{h})'$ したがって，$h(u)$は一定の方向であるから柱面である． 以下$a\neq 0$のときを考える． $(1)$式の両辺を$a$でわり，新しく$a,b$を置き換え， $(\overrightarrow{g})'=a\overrightarrow{h}+b(\overrightarrow{h})'$ とおく． $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$ $=(\overrightarrow{g}(u)-b(u)\overrightarrow{h}(u))+(v+b(u)) \overrightarrow{h}(u)$ ここで， $\overrightarrow{g^{\ast}}=\overrightarrow{g}(u)-b(u)\overrightarrow{h}(u)$ とおけば， $=\overrightarrow{g^{\ast}}+(v+b)\overrightarrow{h}\cdots (1)$ $(\overrightarrow{g^{\ast}})'=(a-b')\overrightarrow{h}\cdots (2)$ に注意して $a=b'$のとき $(\overrightarrow{g^{\ast}})'=\overrightarrow{0}$ より$\overrightarrow{g^{\ast}}$は定ベクトル． $\begin{cases} \bar{u}=u \\ \bar{v}=b(u)+v \end{cases}$ と媒介変数変換したとき， $\dfrac{\partial (\bar{u},\bar{v})}{\partial (u,v)} =\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b'(u) & 1 \end{pmatrix}=1$ より$\bar{u},\bar{v}$が新しい媒介変数表示となる． したがって $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g^{\ast}} +\bar{v}\overrightarrow{h}(\bar{u})$ で$\overrightarrow{g^{\ast}}$は定ベクトルであるから錐面である． 残されたのは，$a\neq b'$の場合である．$(1)$より $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g^{\ast}} +(v+b)\overrightarrow{h}$ で，さらに$(2)$より $\overrightarrow{h}=\dfrac{(\overrightarrow{g^{\ast}})'}{a-b'}$ そこで， $\begin{cases} \bar{u}=u \\ \bar{v}=\dfrac{v+b(u)}{a(u)-b'(u)}\end{cases}$ と変数変換をすると， $\dfrac{\partial (\bar{u},\bar{v})}{\partial (u,v)} =\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \ast & \dfrac{1}{a(u)-b'(u)} \end{pmatrix}\neq 0$ より$\bar{u},\bar{v}$が新しい媒介変数表示となる. この媒介変数表示で， $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g^{\ast}} +(v+b)\overrightarrow{h}$ $=\overrightarrow{g^{\ast}}(\bar{u})+\bar{v}(\overrightarrow{g^{\ast}})'(\bar{u})$ したがって，曲線$\overrightarrow{g^{\ast}}(\bar{u})$の接線曲線である． 以上で命題2が証明された． ガウス曲率0の曲面 微分幾何 |