ヤコビ行列は１変数でいえば，微分のことであることを述べました， 多変数の逆関数の定理，陰関数の定理を復習することは意味のあることだと思う． ちなみに１変数の逆関数の定理は 定理 関数$f(x)$が区間$(a,b)$で連続微分可能(微分可能で導関数は連続)で この区間で$f'(x)\neq 0$なら，この区間で 逆関数が定義でき，逆関数も連続微分可能である． であった． １変数の場合$f'(x)\neq 0$より$f'(x) > 0$または$f'(x) < 0$であるから，単調増加か単調減少であるから，逆関数が定義できるので 分かり易い． それでは，$n$変数の場合の逆関数の定理を述べ証明をする． 逆関数の定理 関数 $\boldsymbol{f}:A(\subset )\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ は連続微分可能(成分のそれぞれの関数が，各変数について偏微分可能，偏微分導関数が連続)で，１点$\boldsymbol{x_0}\in A$においてヤコビ行列$\boldsymbol{f}'(\boldsymbol{x_0})$ が逆行列持つとする． このとき． $\boldsymbol{x_0}\in U\subset A,\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x_0})\subset V$ で次の２条件を満たす開集合$U,V \subset \mathbb{R}^n$が存在する． $(1) \ \boldsymbol{f}$は$U$から$V$への全単射である． したがって$\boldsymbol{f}$は逆関数が存在しそれを$\boldsymbol{g}$とする． $(2) \ \boldsymbol{g}:V\to U$は連続微分可能である． 証明 $n=2$の場合で証明するが，一般の$n$でも証明は変わらない． まず証明で用いる補助定理を述べる． 補助定理(収縮写像の不動点定理) $X$を$\mathbb{R}^2$内の有界閉集合とする． 関数 $\boldsymbol{f}:X\to X$ がある定数$\alpha ,(0\leqq \alpha < 1)$が存在して， 任意の$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X$に対して $\parallel \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\parallel \leqq \alpha \parallel \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\parallel$ を満たすとき，写像$\boldsymbol{f}$はただ一つの不動点を持つ． 証明は後で述べる． 逆関数の定理の証明に入る． 長くなるので，いくつかの段階に分けて証明する． $(step 1)$ $\boldsymbol{f}(0,0)=(0,0)$かつ$\boldsymbol{f}'(0,0)=E$ただし，$E$は単位行列． のとき証明すればよい． なぜなら， 平行移動 $(x,y)\mapsto (x+a,y+b)$ただし，$a,b$は定数 は逆関数が存在し，微分であるヤコビ行列は単位行列である． さらに，１次変換 $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$ は行列$A$が逆行列を持つとき逆関数が存在して，微分であるヤコビ行列は$A$である． したがって，平行移動，１次変換を合成することにより $\boldsymbol{f}(0,0)=(0,0)$かつ$\boldsymbol{f}'(0,0)=E$ のときだけ考えればよいことが分かる． $\boldsymbol{F}:(0,0)\in U\to \mathbb{R}^2$ を $\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y)-\boldsymbol{f}(x,y)$ で定義する．このとき $\boldsymbol{F}(0,0)=(0,0),\boldsymbol{F}'(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ である． $(step 2)$ 次の条件を満たす実数$r > 0$が存在する． 原点を中心とする半径$2r$の円板$\bar{B}_{2r}(0,0)$で $\boldsymbol{f}'(x,y)$は逆行列を持ち，かつ，任意の２点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \bar{B}_r(0,0)$で $\parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$ および $\dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{}(x_2,y_2)\parallel$ が成り立つ． ($step 2$の証明) $\boldsymbol{f}=(f^1,f^2)$とおく． ここで $\dfrac{\partial f}{\partial x}=f_x$等と表すと $\boldsymbol{f}$が連続微分可能であるから $f^1_x,f^1_y,f^2_x,f^2_y$ はそれぞれ連続．したがって$r$を十分小さくとれば $\boldsymbol{f}'(0,0)=\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), \boldsymbol{F}'(0,0)=\bigl( \begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ であるから $(x,y)\in \bar{B}_{2r}(0,0)$のとき $\det \boldsymbol{f}'(x,y)\neq 0$ かつ $\boldsymbol{F}'(x,y)$の各成分の絶対値は$\frac{1}{4}$以下 にできる． $\boldsymbol{F}=(F^1,F^2)$ と置く． $|F^1(x_1,y_1)-F^1(x_2,y_2)|\leqq |\dfrac{1}{4}(x_1-x_2)+\dfrac{1}{4}(y_1-y_2)|$ $\leqq \dfrac{\sqrt{2}}{4}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$ $(\because 2(a^2+b^2)-(a+b)^2=(a-b)^2\geqq 0)$ $F^2$についても同様に式が成り立つ．したがって， $\parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel ^2$ $=(F^1(x_1,y_1)-F^1(x_2,y_2))^2+(F^2(x_1,y_1)-F^2(x_2,y_2))^2$ $\leqq \dfrac{1}{4}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel ^2$ $\therefore \| \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel \cdots (\sharp)$ $(\sharp)$に$\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y)-\boldsymbol{f}(x,y)$を代入し $\dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$ $\geqq \| (x_1,y_1)-\boldsymbol{f}(x_1,y_1)-(x_2,y_2)+\boldsymbol{f}(x_2,y_2)\parallel$ $\geqq \| (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel -\parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{f}(x_2,y_2)\parallel$ したがって $\dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{}(x_2,y_2)\parallel$ が成り立つ． $(step 3)$ $\parallel (x,y) \parallel \leqq r$ なら $\parallel \boldsymbol{F}(x,y)\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$ が成り立ち，さらに $\parallel (x',y')\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$ なら，ただ一つの $\parallel (x,y)\parallel \leqq r$ を満たす$(x,y)$が存在して $\boldsymbol{f}(x,y)=(x',y')$ を満たす． ($step 3$の証明) $(step 2)$の不等式 $\parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$ に$(x_2,y_2)=(0,0)$を代入し， $\parallel \boldsymbol{F}(x,y)\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$ を得る． 後半を示そう．これが逆関数の定理の本質である． $\parallel (x',y')\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$ を満たす任意の$(x',y')$及び$\parallel (x,y)\parallel \leqq r$を満たす$(x,y)$に対して $\parallel \boldsymbol{F}(x,y)+(x',y')\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{F}(x,y)\parallel +\parallel (x',y')\parallel \leqq r \ \cdots (\flat)$ が成り立つ． ここで$(x',y')$を固定して,関数 $\boldsymbol{G}_{(x',y')}:\bar{B}_r(0,0)\to \bar{B}_r(0,0) ;(x,y)\mapsto (x',y')+\boldsymbol{F}(x,y)$ を考える($(\flat)$より定義できる)． $\boldsymbol{G}_{(x',y')}$の不動点をもとめる． 不動点を$(x,y)$とすると $(x,y)=(x',y')+(x,y)-\boldsymbol{f}(x,y)$ より $(x',y')=\boldsymbol{f}(x,y)$ 一方， 任意の$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \bar{B}_r(0,0)$に対して $\parallel \boldsymbol{G}_{(x',y')}(x_1,y_1)-\boldsymbol{G}_{(x',y')}(x_2,y_2)\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)- \boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2) \parallel $ したがって，補助定理より $\boldsymbol{G}_{(x',y')}:\bar{B}_r(0,0)\to \bar{B}_r(0,0)$ はただ一つの不動点をもつ．さらにその不動点$(x,y)$が $\boldsymbol{f}(x,y)=(x',y')$ を満たす． したがって$\boldsymbol{f}$の逆関数 $\boldsymbol{f}^{-1}:\bar{B}_{\frac{r}{2}}(0,0)\to \bar{B}_r(0,0)$ が定義できた． $(step 4)$ $A=\boldsymbol{f}^{-1}(B_{\frac{r}{2}}(0,0)),B=B_{\frac{r}{2}}(0,0)$とすれば $\boldsymbol{f}:A\to B$ は同相であり，逆関数$\boldsymbol{f}^{-1}$も連続微分可能である． $(step 4)$の証明 $\boldsymbol{f}$は連続であり，連続写像の開集合の逆像は開集合であるから$A$ は開集合である． $\boldsymbol{f}$が同相であることは$\boldsymbol{f}^{-1}$が連続を示せばよい． $\parallel \boldsymbol{f}^{-1}(x_1',y_1')-\boldsymbol{f}^{-1}(x_2',y_2')\parallel$ $= \parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$ $\leqq 2\parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{f}(x_2,y_2) \parallel $ $=2\parallel (x_1',y_1')-(x_2',y_2') \parallel$ より$\boldsymbol{f}^{-1}$が連続であることが分かる． ($\because$ 連続の定義は一般には開集合を用いるがここでは $x\to a$のとき$f(x)\to f(a)$ とすれば $\|(x,y)-(a,b)\|\to 0$のとき $\parallel \boldsymbol{f}^{-1}(x,y)-\boldsymbol{f}^{-1}(a,b)\parallel\to 0$ が成り立つ．) 残されたことは$\boldsymbol{f}^{-1}$が連続微分可能を示すことだけである． $\boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}, \boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ とし，$\boldsymbol{f}'(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})$の逆行列を$C$とする． $\boldsymbol{f}$は$(a,b)$で連続微分可能であるから $\boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})$ $=\boldsymbol{f}'(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix} +\|\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\|\boldsymbol{\rho}((x,y),(a,b))\cdots (1)$ ここで $\|\boldsymbol{\rho}((x,y),(a,b))\|\to 0 \ \ ((x,y)\to (a,b))$ $(1)$の両辺に左側から$C$をかける． $C(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})$ $=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}+ \|\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})\|C\boldsymbol{\rho}((x,y),(a,b))$ $=\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})C +\|\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})\| \boldsymbol{\rho}(\boldsymbol{f}^{-1}(x',y'),(\boldsymbol{f}^{-1}(a',b'))$ したがって $\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})= \boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}) +C(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})+\|\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}\| \boldsymbol{\rho '}((x',y'),(a',b'))$ ここで $\boldsymbol{\rho}'((x',y'),(a',b'))= -\dfrac{\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}) -\boldsymbol{f}^{-1} (\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})}{\|\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}\|} C\boldsymbol{\rho }(\boldsymbol{f}^{-1}(x',y'),\boldsymbol{f}^{-1}(a',b'))$ さらに$(step 2)$の結果より $\dfrac{\|\boldsymbol{f}^{-1}(x',y')-\boldsymbol{f}^{-1}(a',b')\|}{\|(x',y')-(a',b')\|} =\dfrac{\|(x,y)-(a,b)\|}{\|\boldsymbol{f}(x,y)-\boldsymbol{f}(a,b)\|}\leqq 2$ であるから $\rho '((x',y'),(a',b'))\to 0 \ ((x',y')\to (a',b'))$ より$\boldsymbol{f}^{-1}$が$(a',b')$で微分可能であることが示された． さらに $(\boldsymbol{f}^{-1})'(a',b')=C=\dfrac{1}{\boldsymbol{f}'(a,b)}$ であるから，$(\boldsymbol{f}^{-1})'$は連続である．したがって，逆関数の定理の証明が終了した． 残されたのは補助定理の証明である． 補助定理(収縮写像の不動点定理) $X$を$\mathbb{R}^2$の有界閉集合とする． 関数 $\boldsymbol{f}:X\to X$ がある定数$\alpha ,(0\leqq \alpha < 1)$が存在して， 任意の$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X$に対して $\| \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\| \leqq \alpha \parallel \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\parallel$ を満たすとき，写像$\boldsymbol{f}$はただ一つの不動点を持つ． 証明 $\boldsymbol{f}$をｎ回合成した関数を$\boldsymbol{f}^n$と表す． $\boldsymbol{x}_0\in X$を任意の点とし，$\boldsymbol{x}_n$を $\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_0)$ で定義する． ここで $\|\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{y})\| \leqq \alpha ^n\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|$ であるから $\|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}_{n+1}\| =\|\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_0)-\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)) \|\leqq \alpha ^n\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|$ が成り立つ． 三角不等式より $\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_m\|\leqq \|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|+\|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2\|+\cdots +\|\boldsymbol{x}_{m-1} -\boldsymbol{x}_m\|$ $\leqq (1+\alpha +\alpha ^2+\cdots +\alpha ^{m-1})\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|$ $\leqq \dfrac{1}{1-\alpha}\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|$ ここで $\|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}_{n+m}\|=\|\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_0)- \boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_m))\|\leqq \alpha ^n\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_m\|$ より $\|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}_{n+m}\|\leqq \alpha ^n\cdot \dfrac{1}{1-\alpha }\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|\cdots (\sharp) $ $n,m$は任意の$0$以上の整数であるから，点列$\{\boldsymbol{x}_n\}$はコーシー列である． 点列$\{\boldsymbol{x}_n\}$の極限を$\boldsymbol{x}_{\infty}$とおく． $\displaystyle \|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_{\infty})-\boldsymbol{x}_{\infty}\|=\lim_{n\to \infty}\|f(\boldsymbol{x}_n)-\boldsymbol{x}_n\|=0$ より，$\boldsymbol{x}_{\infty}$は$f$の不動点であり，不動点が存在することがしめされた． 不動点の一意性については $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$がそれぞれ$f$の不動点とすると $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|=\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\|\leqq \alpha \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|$ より$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$である． 以上で補助定理の証明が終了した． 逆関数の定理を学べば，次に陰関数の定理を学ぶ． 陰関数の定理とは，例で説明すると 球面 $x^2+y^2+z^2-1=0$ を$z$について解くと $z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2}$ である．$z\neq 0$であれば$z$について解くことができる． 球面 $x^2+y^2+z^2=1$ と，平面 $ax+by+cz=d$ の交線は $y=f(x),z=g(x)$ と解くことができる． ということである． なお，曲面$z=f(x,y)$は$\mathbb{R}^3$では $(x,y,f(x,y))$ であるし，曲線 $y=f(x),z=g(x)$ は$\mathbb{R}^3$では $(x,f(x),g(x))$ である． 陰関数の定理 $U,V$がそれぞれ$\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n$の開集合で，関数 $\boldsymbol{f}:U\times V\to \mathbb{R}^n$ は連続微分可能である． $\boldsymbol{f}=(f^1,\dots ,f^n)$ が点$(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)=(x_1^0,\dots ,x_m^0,y_1^0,\dots ,y_n^0)$において $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)=(0,\dots ,0)$ および $\dfrac{\partial (f^1,\cdots ,f^n)}{\partial (y_1,\cdots ,y_n)}(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)\neq 0$ が成り立つとき，$\boldsymbol{x}_0$を含む開集合$U_0$と 連続微分可能な関数 $\boldsymbol{g}:U_0\to \mathbb{R}^n$ が存在して， $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{y}_0$ かつ，すべての$\boldsymbol{x}\in U_0$に対して $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}))=0$ が成り立つ． 証明 $n=2,m=2$の場合を証明する．一般の場合も変わらない． $F:U\times V\to \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$を $(x_1,x_2,y_1,y_2)\mapsto (x_1,x_2,f^1(x_1,x_2,y_1,y_2),f^2(x_1,x_2,y_1,y_2))$ によって定義する． $F$の微分は $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ \dfrac{\partial f^1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f^1}{\partial x_2} &\dfrac{\partial f^1}{\partial y_1}&\dfrac{\partial f^1}{\partial y_2}\\ \dfrac{\partial f^2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f^2}{\partial x_2} &\dfrac{\partial f^2}{\partial y_1}&\dfrac{\partial f^2}{\partial y_2}\end{pmatrix} $ より$(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)$で逆行列を持つ．したがって，$F$は $(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)$の十分小さい近傍で逆関数を持ち，それを$G$とする． $F:(x_1,x_2,y_1,y_2)\mapsto (x_1,x_2,f^1(x_1,x_2,y_1,y_2),f^2(x_1,x_2,y_1,y_2))$ であり， $(g^1,g^2):\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$を $G(x_1,x_2,f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)) =(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))\cdots (\sharp)$ によって定義する． この$g^1,g^2$が求めるものであることを示そう． $(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=G(x_1,x_2,f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0))$ より $F(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=(x_1,x_2,f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0))=(x_1,x_2,0,0)$ したがって， $f^1(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=0,f^2(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=0$ そして $F$の定義および$(\sharp)$より $(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)=G(x_1^0,x_2^0, f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^2(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0))$ $=(x_1^0,x_2^0,g^1(x_1^0,x_2^0),g2(x_1^0,x_2^0))$ したがって $g^1(x_1^0,x_2^0)=y_1^0,g^2(x_1^0,x_2^0)=y_2^0$ である． 各節とも例を出来るだけ用意しましたので例を参考に，あわてずゆっくり読み進めましょう．古典的な 微分幾何のすばらしさを伝えたいと思っています． 2.弧長を変数とする曲線 微分幾何の目次 |