逆関数の定理,陰関数の定理


ヤコビ行列は1変数でいえば,微分のことであることを述べました, 多変数の逆関数の定理,陰関数の定理を復習することは意味のあることだと思う.
ちなみに1変数の逆関数の定理は
定理
関数$f(x)$が区間$(a,b)$で連続微分可能(微分可能で導関数は連続)で この区間で$f'(x)\neq 0$なら,この区間で 逆関数が定義でき,逆関数も連続微分可能である.
であった.
1変数の場合$f'(x)\neq 0$より$f'(x) > 0$または$f'(x) < 0$であるから,単調増加か単調減少であるから,逆関数が定義できるので 分かり易い.
それでは,$n$変数の場合の逆関数の定理を述べ証明をする.

逆関数の定理
関数
$\boldsymbol{f}:A(\subset )\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$
は連続微分可能(成分のそれぞれの関数が,各変数について偏微分可能,偏微分導関数が連続)で,1点$\boldsymbol{x_0}\in A$においてヤコビ行列$\boldsymbol{f}'(\boldsymbol{x_0})$ が逆行列持つとする.
このとき.
$\boldsymbol{x_0}\in U\subset A,\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x_0})\subset V$
で次の2条件を満たす開集合$U,V \subset \mathbb{R}^n$が存在する.
$(1) \ \boldsymbol{f}$は$U$から$V$への全単射である.
したがって$\boldsymbol{f}$は逆関数が存在しそれを$\boldsymbol{g}$とする.
$(2) \ \boldsymbol{g}:V\to U$は連続微分可能である.

証明
$n=2$の場合で証明するが,一般の$n$でも証明は変わらない.
まず証明で用いる補助定理を述べる.
補助定理(収縮写像の不動点定理)
$X$を$\mathbb{R}^2$内の有界閉集合とする.
関数
$\boldsymbol{f}:X\to X$
がある定数$\alpha ,(0\leqq \alpha < 1)$が存在して, 任意の$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X$に対して
$\parallel \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\parallel \leqq \alpha \parallel \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\parallel$
を満たすとき,写像$\boldsymbol{f}$はただ一つの不動点を持つ.
証明は後で述べる.

逆関数の定理の証明に入る.
長くなるので,いくつかの段階に分けて証明する.
$(step 1)$
$\boldsymbol{f}(0,0)=(0,0)$かつ$\boldsymbol{f}'(0,0)=E$ただし,$E$は単位行列.
のとき証明すればよい.
なぜなら,
平行移動
$(x,y)\mapsto (x+a,y+b)$ただし,$a,b$は定数
は逆関数が存在し,微分であるヤコビ行列は単位行列である.
さらに,1次変換
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$
は行列$A$が逆行列を持つとき逆関数が存在して,微分であるヤコビ行列は$A$である.
したがって,平行移動,1次変換を合成することにより
$\boldsymbol{f}(0,0)=(0,0)$かつ$\boldsymbol{f}'(0,0)=E$
のときだけ考えればよいことが分かる.

$\boldsymbol{F}:(0,0)\in U\to \mathbb{R}^2$

$\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y)-\boldsymbol{f}(x,y)$
で定義する.このとき
$\boldsymbol{F}(0,0)=(0,0),\boldsymbol{F}'(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
である.
$(step 2)$
次の条件を満たす実数$r > 0$が存在する.
原点を中心とする半径$2r$の円板$\bar{B}_{2r}(0,0)$で
$\boldsymbol{f}'(x,y)$は逆行列を持ち,かつ,任意の2点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \bar{B}_r(0,0)$で
$\parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$
および
$\dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{}(x_2,y_2)\parallel$
が成り立つ.

($step 2$の証明)
$\boldsymbol{f}=(f^1,f^2)$とおく.
ここで
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=f_x$等と表すと
$\boldsymbol{f}$が連続微分可能であるから
$f^1_x,f^1_y,f^2_x,f^2_y$
はそれぞれ連続.したがって$r$を十分小さくとれば
$\boldsymbol{f}'(0,0)=\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), \boldsymbol{F}'(0,0)=\bigl( \begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$
であるから
$(x,y)\in \bar{B}_{2r}(0,0)$のとき
$\det \boldsymbol{f}'(x,y)\neq 0$
かつ
$\boldsymbol{F}'(x,y)$の各成分の絶対値は$\frac{1}{4}$以下
にできる.
$\boldsymbol{F}=(F^1,F^2)$
と置く.
$|F^1(x_1,y_1)-F^1(x_2,y_2)|\leqq |\dfrac{1}{4}(x_1-x_2)+\dfrac{1}{4}(y_1-y_2)|$
$\leqq \dfrac{\sqrt{2}}{4}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$
$(\because 2(a^2+b^2)-(a+b)^2=(a-b)^2\geqq 0)$
$F^2$についても同様に式が成り立つ.したがって,
$\parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel ^2$
$=(F^1(x_1,y_1)-F^1(x_2,y_2))^2+(F^2(x_1,y_1)-F^2(x_2,y_2))^2$
$\leqq \dfrac{1}{4}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel ^2$
$\therefore \| \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel \cdots (\sharp)$
$(\sharp)$に$\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y)-\boldsymbol{f}(x,y)$を代入し
$\dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$
$\geqq \| (x_1,y_1)-\boldsymbol{f}(x_1,y_1)-(x_2,y_2)+\boldsymbol{f}(x_2,y_2)\parallel$
$\geqq \| (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel -\parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{f}(x_2,y_2)\parallel$
したがって
$\dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{}(x_2,y_2)\parallel$
が成り立つ.

$(step 3)$
$\parallel (x,y) \parallel \leqq r$ なら $\parallel \boldsymbol{F}(x,y)\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$
が成り立ち,さらに
$\parallel (x',y')\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$
なら,ただ一つの
$\parallel (x,y)\parallel \leqq r$
を満たす$(x,y)$が存在して
$\boldsymbol{f}(x,y)=(x',y')$
を満たす.

($step 3$の証明)
$(step 2)$の不等式
$\parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)-\boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$
に$(x_2,y_2)=(0,0)$を代入し,
$\parallel \boldsymbol{F}(x,y)\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$
を得る.
後半を示そう.これが逆関数の定理の本質である.
$\parallel (x',y')\parallel \leqq \dfrac{r}{2}$
を満たす任意の$(x',y')$及び$\parallel (x,y)\parallel \leqq r$を満たす$(x,y)$に対して
$\parallel \boldsymbol{F}(x,y)+(x',y')\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{F}(x,y)\parallel +\parallel (x',y')\parallel \leqq r \ \cdots (\flat)$
が成り立つ.
ここで$(x',y')$を固定して,関数
$\boldsymbol{G}_{(x',y')}:\bar{B}_r(0,0)\to \bar{B}_r(0,0) ;(x,y)\mapsto (x',y')+\boldsymbol{F}(x,y)$
を考える($(\flat)$より定義できる).
$\boldsymbol{G}_{(x',y')}$の不動点をもとめる.
不動点を$(x,y)$とすると
$(x,y)=(x',y')+(x,y)-\boldsymbol{f}(x,y)$
より
$(x',y')=\boldsymbol{f}(x,y)$
一方,
任意の$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \bar{B}_r(0,0)$に対して
$\parallel \boldsymbol{G}_{(x',y')}(x_1,y_1)-\boldsymbol{G}_{(x',y')}(x_2,y_2)\parallel \leqq \parallel \boldsymbol{F}(x_1,y_1)- \boldsymbol{F}(x_2,y_2)\parallel \leqq \dfrac{1}{2}\parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2) \parallel $
したがって,補助定理より
$\boldsymbol{G}_{(x',y')}:\bar{B}_r(0,0)\to \bar{B}_r(0,0)$
はただ一つの不動点をもつ.さらにその不動点$(x,y)$が
$\boldsymbol{f}(x,y)=(x',y')$
を満たす.
したがって$\boldsymbol{f}$の逆関数
$\boldsymbol{f}^{-1}:\bar{B}_{\frac{r}{2}}(0,0)\to \bar{B}_r(0,0)$
が定義できた.

$(step 4)$
$A=\boldsymbol{f}^{-1}(B_{\frac{r}{2}}(0,0)),B=B_{\frac{r}{2}}(0,0)$とすれば
$\boldsymbol{f}:A\to B$
は同相であり,逆関数$\boldsymbol{f}^{-1}$も連続微分可能である.

$(step 4)$の証明
$\boldsymbol{f}$は連続であり,連続写像の開集合の逆像は開集合であるから$A$ は開集合である.
$\boldsymbol{f}$が同相であることは$\boldsymbol{f}^{-1}$が連続を示せばよい.
$\parallel \boldsymbol{f}^{-1}(x_1',y_1')-\boldsymbol{f}^{-1}(x_2',y_2')\parallel$
$= \parallel (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\parallel$
$\leqq 2\parallel \boldsymbol{f}(x_1,y_1)-\boldsymbol{f}(x_2,y_2) \parallel $
$=2\parallel (x_1',y_1')-(x_2',y_2') \parallel$
より$\boldsymbol{f}^{-1}$が連続であることが分かる.
($\because$ 連続の定義は一般には開集合を用いるがここでは
$x\to a$のとき$f(x)\to f(a)$
とすれば
$\|(x,y)-(a,b)\|\to 0$のとき
$\parallel \boldsymbol{f}^{-1}(x,y)-\boldsymbol{f}^{-1}(a,b)\parallel\to 0$
が成り立つ.)

残されたことは$\boldsymbol{f}^{-1}$が連続微分可能を示すことだけである.
$\boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}, \boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$
とし,$\boldsymbol{f}'(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})$の逆行列を$C$とする.
$\boldsymbol{f}$は$(a,b)$で連続微分可能であるから
$\boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})$
$=\boldsymbol{f}'(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix} +\|\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\|\boldsymbol{\rho}((x,y),(a,b))\cdots (1)$
ここで
$\|\boldsymbol{\rho}((x,y),(a,b))\|\to 0 \ \ ((x,y)\to (a,b))$
$(1)$の両辺に左側から$C$をかける.
$C(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})$
$=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}+ \|\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})\|C\boldsymbol{\rho}((x,y),(a,b))$ $=\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})C +\|\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})-\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})\| \boldsymbol{\rho}(\boldsymbol{f}^{-1}(x',y'),(\boldsymbol{f}^{-1}(a',b'))$
したがって
$\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})= \boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}) +C(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})+\|\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}\| \boldsymbol{\rho '}((x',y'),(a',b'))$
ここで
$\boldsymbol{\rho}'((x',y'),(a',b'))= -\dfrac{\boldsymbol{f}^{-1}(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}) -\boldsymbol{f}^{-1} (\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix})}{\|\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}\|} C\boldsymbol{\rho }(\boldsymbol{f}^{-1}(x',y'),\boldsymbol{f}^{-1}(a',b'))$
さらに$(step 2)$の結果より
$\dfrac{\|\boldsymbol{f}^{-1}(x',y')-\boldsymbol{f}^{-1}(a',b')\|}{\|(x',y')-(a',b')\|} =\dfrac{\|(x,y)-(a,b)\|}{\|\boldsymbol{f}(x,y)-\boldsymbol{f}(a,b)\|}\leqq 2$
であるから
$\rho '((x',y'),(a',b'))\to 0 \ ((x',y')\to (a',b'))$
より$\boldsymbol{f}^{-1}$が$(a',b')$で微分可能であることが示された.
さらに
$(\boldsymbol{f}^{-1})'(a',b')=C=\dfrac{1}{\boldsymbol{f}'(a,b)}$
であるから,$(\boldsymbol{f}^{-1})'$は連続である.したがって,逆関数の定理の証明が終了した.

残されたのは補助定理の証明である.

補助定理(収縮写像の不動点定理)
$X$を$\mathbb{R}^2$の有界閉集合とする.
関数
$\boldsymbol{f}:X\to X$
がある定数$\alpha ,(0\leqq \alpha < 1)$が存在して, 任意の$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X$に対して
$\| \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\| \leqq \alpha \parallel \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\parallel$
を満たすとき,写像$\boldsymbol{f}$はただ一つの不動点を持つ.

証明
$\boldsymbol{f}$をn回合成した関数を$\boldsymbol{f}^n$と表す.
$\boldsymbol{x}_0\in X$を任意の点とし,$\boldsymbol{x}_n$を
$\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_0)$
で定義する.
ここで
$\|\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{y})\| \leqq \alpha ^n\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|$
であるから
$\|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}_{n+1}\| =\|\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_0)-\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)) \|\leqq \alpha ^n\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|$
が成り立つ.
三角不等式より
$\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_m\|\leqq \|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|+\|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2\|+\cdots +\|\boldsymbol{x}_{m-1} -\boldsymbol{x}_m\|$
$\leqq (1+\alpha +\alpha ^2+\cdots +\alpha ^{m-1})\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|$
$\leqq \dfrac{1}{1-\alpha}\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|$
ここで
$\|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}_{n+m}\|=\|\boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_0)- \boldsymbol{f}^n(\boldsymbol{x}_m))\|\leqq \alpha ^n\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_m\|$
より
$\|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}_{n+m}\|\leqq \alpha ^n\cdot \dfrac{1}{1-\alpha }\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}_1\|\cdots (\sharp) $
$n,m$は任意の$0$以上の整数であるから,点列$\{\boldsymbol{x}_n\}$はコーシー列である.
点列$\{\boldsymbol{x}_n\}$の極限を$\boldsymbol{x}_{\infty}$とおく.
$\displaystyle \|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_{\infty})-\boldsymbol{x}_{\infty}\|=\lim_{n\to \infty}\|f(\boldsymbol{x}_n)-\boldsymbol{x}_n\|=0$
より,$\boldsymbol{x}_{\infty}$は$f$の不動点であり,不動点が存在することがしめされた.
不動点の一意性については
$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$がそれぞれ$f$の不動点とすると
$\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|=\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\|\leqq \alpha \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|$
より$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$である.
以上で補助定理の証明が終了した.

逆関数の定理を学べば,次に陰関数の定理を学ぶ.
陰関数の定理とは,例で説明すると
球面
$x^2+y^2+z^2-1=0$
を$z$について解くと
$z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2}$
である.$z\neq 0$であれば$z$について解くことができる.
球面
$x^2+y^2+z^2=1$
と,平面
$ax+by+cz=d$
の交線は
$y=f(x),z=g(x)$
と解くことができる.
ということである.
なお,曲面$z=f(x,y)$は$\mathbb{R}^3$では
$(x,y,f(x,y))$
であるし,曲線
$y=f(x),z=g(x)$
は$\mathbb{R}^3$では
$(x,f(x),g(x))$
である.

陰関数の定理
$U,V$がそれぞれ$\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n$の開集合で,関数
$\boldsymbol{f}:U\times V\to \mathbb{R}^n$
は連続微分可能である.
$\boldsymbol{f}=(f^1,\dots ,f^n)$
が点$(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)=(x_1^0,\dots ,x_m^0,y_1^0,\dots ,y_n^0)$において
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)=(0,\dots ,0)$
および
$\dfrac{\partial (f^1,\cdots ,f^n)}{\partial (y_1,\cdots ,y_n)}(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)\neq 0$
が成り立つとき,$\boldsymbol{x}_0$を含む開集合$U_0$と 連続微分可能な関数
$\boldsymbol{g}:U_0\to \mathbb{R}^n$
が存在して,
$\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{y}_0$
かつ,すべての$\boldsymbol{x}\in U_0$に対して
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}))=0$
が成り立つ.

証明
$n=2,m=2$の場合を証明する.一般の場合も変わらない.
$F:U\times V\to \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$を
$(x_1,x_2,y_1,y_2)\mapsto (x_1,x_2,f^1(x_1,x_2,y_1,y_2),f^2(x_1,x_2,y_1,y_2))$
によって定義する.
$F$の微分は
$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ \dfrac{\partial f^1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f^1}{\partial x_2} &\dfrac{\partial f^1}{\partial y_1}&\dfrac{\partial f^1}{\partial y_2}\\ \dfrac{\partial f^2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f^2}{\partial x_2} &\dfrac{\partial f^2}{\partial y_1}&\dfrac{\partial f^2}{\partial y_2}\end{pmatrix} $
より$(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)$で逆行列を持つ.したがって,$F$は $(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)$の十分小さい近傍で逆関数を持ち,それを$G$とする.
$F:(x_1,x_2,y_1,y_2)\mapsto (x_1,x_2,f^1(x_1,x_2,y_1,y_2),f^2(x_1,x_2,y_1,y_2))$
であり,
$(g^1,g^2):\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$を
$G(x_1,x_2,f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)) =(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))\cdots (\sharp)$
によって定義する.
この$g^1,g^2$が求めるものであることを示そう.
$(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=G(x_1,x_2,f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0))$
より
$F(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=(x_1,x_2,f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0))=(x_1,x_2,0,0)$
したがって,
$f^1(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=0,f^2(x_1,x_2,g^1(x_1,x_2),g^2(x_1,x_2))=0$
そして
$F$の定義および$(\sharp)$より
$(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0)=G(x_1^0,x_2^0, f^1(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0),f^2(x_1^0,x_2^0,y_1^0,y_2^0))$
$=(x_1^0,x_2^0,g^1(x_1^0,x_2^0),g2(x_1^0,x_2^0))$
したがって
$g^1(x_1^0,x_2^0)=y_1^0,g^2(x_1^0,x_2^0)=y_2^0$
である.

各節とも例を出来るだけ用意しましたので例を参考に,あわてずゆっくり読み進めましょう.古典的な 微分幾何のすばらしさを伝えたいと思っています.


2.弧長を変数とする曲線


微分幾何の目次