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§12.その他の極小曲面 正則関数ϕ(w)を定め，F(w),G(w),H(w)を F(w)=12∫(1−w2)ϕ(w)dw, G(w)=i2∫(1+w2)ϕ(w)dw, H(w)=∫wϕ(w)dw によって定義する．このとき，F,G,Hの実部，虚部により定義された曲面 \boldsymbol{p}(u,v)=(\mathcal{Re}(F(w)),\mathcal{Re}(G(w)),\mathcal{Re}(H(w)) =(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \boldsymbol{q}(u,v)=(\mathcal{Im}(F(w)),\mathcal{Im}(G(w)),\mathcal{Im}(H(w)) =(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v)) はともに極小曲面である． さて，懸垂曲面，常らせん面，エンネパー曲面，シェルク曲面を扱ったが，これらは代表的極小曲面である． ここでは，比較的に簡単に求められる極小曲面を扱う． すなわち \phi (w)=\dfrac{2}{w},2e^z について極小曲面を求める． (1)\phi (w)=\dfrac{2}{w}について \displaystyle F(w)=\log w-\dfrac{w^2}{2} \displaystyle G(w)=i(\log w+\dfrac{w^2}{2}) H(w)=2w 
であるからw=e^u(\cos v+i\sin v) とおくと 極小曲面は x=u-\dfrac{e^{2u}\cos 2v}{2} y=-v-\dfrac{e^{2u}\sin 2v}{2} z=2e^u\cos v であり，共役曲面は \bar{x}=v-\dfrac{e^{2u}\sin 2v}{2} \bar{y}=u+\dfrac{e^{2u}\cos 2v}{2} \bar{z}=2e^u\sin v この２つの曲面は同じ曲面である． 右図は(x(u,v),y(u,v),z(u,v))の-1\leqq u\leqq 1,0\leqq v\leqq 2\pi 実際共役曲面のx,y座標を交換し(平面x=yに関して対象移動)，媒介変数vを\frac{v}{2}-vとしy軸方向に\frac{\pi}{2}だけ平行移動すればよい． すなわち，この曲面は共役曲面と一致する極小曲面である． (2)\phi (w)=2e^wについて 部分積分を用いると F(w)=(-w^2+2w-1)e^w G(w)=i(w^2-2w+3)e^w H(w)=2(w-1)e^w さらに，w=u+ivとおき実部をとることにより極小曲面 \boldsymbol{p}=(e^u((-1+2u-u^2+v^2)\cos v+(-2v+2uv)\sin v), e^u((2v-2uv)\cos v+(-3+2u-u^2+v^2)\sin v), e^u((-2+2u)\cos v-2v\sin v)) 
この曲面は右図．
この曲面は曲率に注目してみよう． ガウス曲率Kは K=\dfrac{-16}{(1+|w|^2)^4|\phi (w)|^2} =\dfrac{-16}{(1+u^2+v^2)^4(2e^{u})^2} =\dfrac{-16}{((1+u^2+v^2)^2e^u)^2} したがって，ガウス曲率の極値は関数 f(u,v)=(1+u^2+v^2)^2e^u を調べればよい． f_u=e^u(1+u^2+v^2)(1+4u+u^2+v^2) f_v=4e^uv(1+u^2+v^2) より f_u=0,f_v=0 をとけば (u,v)=(-2+\sqrt{3},0),(-2-\sqrt{3},0) それぞれヘッシアンを計算する. \mathrm{Hess}(u,v)=f_{uu}f_{vv}-f_{uv}^2 \mathrm{Hess}(-2+\sqrt{3},0)\fallingdotseq 9.3 \mathrm{Hess}(-2-\sqrt{3},0)\fallingdotseq -1.77 より，f(u,v)は(u,v)=(-2+\sqrt{3},0)で極小値をとり，(u,v)=(-2-\sqrt{3},0)では 鞍点である． なお，右図は -1\leqq u \leqq 1,-\frac{\pi}{4}\leqq v\leqq \frac{\pi}{4}) の範囲で，曲率の絶対値が大きい部分である． 続く 微分幾何 |