$\S12.$その他の極小曲面 正則関数$\phi (w)$を定め，$F(w),G(w),H(w)$を $\displaystyle F(w)=\dfrac{1}{2}\int (1-w^2)\phi (w)dw,$ $\displaystyle G(w)=\dfrac{i}{2}\int (1+w^2)\phi (w)dw,$ $\displaystyle H(w)=\int w\phi (w)dw$ によって定義する．このとき，$F,G,H$の実部，虚部により定義された曲面 $\boldsymbol{p}(u,v)=(\mathcal{Re}(F(w)),\mathcal{Re}(G(w)),\mathcal{Re}(H(w)) =(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ $\boldsymbol{q}(u,v)=(\mathcal{Im}(F(w)),\mathcal{Im}(G(w)),\mathcal{Im}(H(w)) =(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))$ はともに極小曲面である． さて，懸垂曲面，常らせん面，エンネパー曲面，シェルク曲面を扱ったが，これらは代表的極小曲面である． ここでは，比較的に簡単に求められる極小曲面を扱う． すなわち $\phi (w)=\dfrac{2}{w},2e^z$ について極小曲面を求める． (1)$\phi (w)=\dfrac{2}{w}$について $\displaystyle F(w)=\log w-\dfrac{w^2}{2}$ $\displaystyle G(w)=i(\log w+\dfrac{w^2}{2})$ $H(w)=2w$ であるから $w=e^u(\cos v+i\sin v)$ とおくと 極小曲面は $x=u-\dfrac{e^{2u}\cos 2v}{2}$ $y=-v-\dfrac{e^{2u}\sin 2v}{2}$ $z=2e^u\cos v$ であり，共役曲面は $\bar{x}=v-\dfrac{e^{2u}\sin 2v}{2}$ $\bar{y}=u+\dfrac{e^{2u}\cos 2v}{2}$ $\bar{z}=2e^u\sin v$ この２つの曲面は同じ曲面である． 右図は$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$の$-1\leqq u\leqq 1,0\leqq v\leqq 2\pi$ 実際共役曲面の$x,y$座標を交換し(平面$x=y$に関して対象移動)，媒介変数$v$を$\frac{v}{2}-v$とし$y$軸方向に$\frac{\pi}{2}$だけ平行移動すればよい． すなわち，この曲面は共役曲面と一致する極小曲面である． (2)$\phi (w)=2e^w$について 部分積分を用いると $F(w)=(-w^2+2w-1)e^w$ $G(w)=i(w^2-2w+3)e^w$ $H(w)=2(w-1)e^w$ さらに，$w=u+iv$とおき実部をとることにより極小曲面 $\boldsymbol{p}=(e^u((-1+2u-u^2+v^2)\cos v+(-2v+2uv)\sin v),$ $e^u((2v-2uv)\cos v+(-3+2u-u^2+v^2)\sin v), e^u((-2+2u)\cos v-2v\sin v))$ この曲面は右図． この曲面は曲率に注目してみよう． ガウス曲率$K$は $K=\dfrac{-16}{(1+|w|^2)^4|\phi (w)|^2}$ $=\dfrac{-16}{(1+u^2+v^2)^4(2e^{u})^2}$ $=\dfrac{-16}{((1+u^2+v^2)^2e^u)^2}$ したがって，ガウス曲率の極値は関数 $f(u,v)=(1+u^2+v^2)^2e^u$ を調べればよい． $f_u=e^u(1+u^2+v^2)(1+4u+u^2+v^2)$ $f_v=4e^uv(1+u^2+v^2)$ より $f_u=0,f_v=0$ をとけば $(u,v)=(-2+\sqrt{3},0),(-2-\sqrt{3},0)$ それぞれヘッシアンを計算する. $\mathrm{Hess}(u,v)=f_{uu}f_{vv}-f_{uv}^2$ $\mathrm{Hess}(-2+\sqrt{3},0)\fallingdotseq 9.3$ $\mathrm{Hess}(-2-\sqrt{3},0)\fallingdotseq -1.77$ より，$f(u,v)$は$(u,v)=(-2+\sqrt{3},0)$で極小値をとり，$(u,v)=(-2-\sqrt{3},0)$では 鞍点である． なお，右図は $-1\leqq u \leqq 1,-\frac{\pi}{4}\leqq v\leqq \frac{\pi}{4})$ の範囲で，曲率の絶対値が大きい部分である． 続く 微分幾何