$\S13.$シュワルツの公式 ここでは，シュワルツによって与えられた，極小曲面を作る公式を述べる． まず，エンネパーの公式を復習しよう． 複素数変数の関数 $f(z)=x(u,v)+i\overline{x}(u,v)$ が正則な時 $f'(z)=x_u-ix_v=\overline{x}_v+i\overline{x}_u$ である． 複素変数の正則な３つの関数， $F(z)=x(u,v)+i\overline{x}(u,v)$ $G(z)=y(u,v)+i\overline{y}(u,v)$ $H(z)=z(u,v)+i\overline{z}(u,v)$ について考える． $F'(z)=f(z),G'(z)=g(z),H'(z)=h(z)$ とおく． $f(z),g(z),h(z)$が $(f(z))^2+(g(z))^2+(h(z))^2=0$ を満たすとき，曲面$S$を $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 曲面$\overline{S}$を $(\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v))$ で定義すれば $f^2+g^2+h^2=(x_u-ix_v)^2+(y_u-iy_v)^2+(z_u-iz_v)^2$ $=(x_u^2+y_u^2+z_u^2)-(x_v^2+y_v^2+z_v^2)+i(x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v)=0$ より，第１基本量を$E,F,G$とおけば $E=G,F=0$ であるから，座標系$(u,v)$が等温座標系になります． また $E+G=|f|^2+|g|^2+|h|^2$ より $E=G=\dfrac{|f|^2+|g|^2+|h|^2}{2}$ となります． さらに，$x(u,v),y(u,v),z(u,v);\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v)$ はそれぞれ調和関数であるから， 曲面$S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$,曲面 $S'=(\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v))$ はともに極小曲面である． これがエンネパーの公式の骨格である. 以下 $\boldsymbol{p}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))= (\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z)))$ $\boldsymbol{q}(u,v)=(\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v))= (\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z)))$ とおく．コーシー，リーマンの関係式より $\boldsymbol{p}_u =\boldsymbol{q}_v,\boldsymbol{p}_v=-\boldsymbol{q}_u$, である．さらに $|\boldsymbol{p}_u|=|\boldsymbol{p}_v|,\boldsymbol{p}_u\cdot \boldsymbol{p}_v=0$ である．したがって，単位法線ベクトル$\boldsymbol{n}(u,v)$を $\{\boldsymbol{p}_u,\boldsymbol{p}_v,\boldsymbol{n}\}$ がこの順に右手系になるようにとると， $\{\boldsymbol{q}_u,\boldsymbol{q}_v,\boldsymbol{n}\} =\{-\boldsymbol{p}_v,\boldsymbol{p}_u,\boldsymbol{n}\}$ もこの順に右手系になる． さて，これらのことをふまえて，シュワルツによる極小曲面を作る方法を説明する． $\mathbb{R}^3$における解析的曲線 $\boldsymbol{\phi}(t)$ とこの曲線にそったこの曲線の単位法ベクトル$\boldsymbol{n}(t)$が与えられたとき， $\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t)=\boldsymbol{\phi}(t)+i\int (\boldsymbol{\phi})'(t) \times \boldsymbol{n}(t)dt$ について， $(\boldsymbol{\Phi})'(t)=(\boldsymbol{\phi})'(t) +i(\boldsymbol{\phi})'(t)\times \boldsymbol{n}(t)$ は $|(\boldsymbol{\phi})'(t)|=|(\boldsymbol{\phi})'(t)\times \boldsymbol{n}(t)|$ $(\boldsymbol{\phi})'(t)\cdot ((\boldsymbol{\phi})'(t) \times \boldsymbol{n}(t))=0$ であるから $\boldsymbol{\phi}(t)=(x(t),y(t),z(t)), \int( \boldsymbol{\phi})'(t)\times \boldsymbol{n}(t)dt=(\overline{x}(t), \overline{y}(t),\overline{z}(t))$ とおけば $(\boldsymbol{\Phi})'(t)=(x'(t)+i\overline{x}'(t),y'(t)+i\overline{y}'(t),z'(t)+i\overline{z}'(t))$ であり，さらに $(x'(t)+i\overline{x}'(t))^2+(y'(t)+ i\overline{y}'(t))^2+(z'(t)+i\overline{z}'(t))^2=0$ が成り立つ． ここで実数で定義された$x,y,z,\overline{x},\overline{y},\overline{z}$を$\mathbb{C}$またはその一部に 解析接続した関数を $x(w),y(w),z(w),\overline{x}(w),\overline{y}(w),\overline{z}(w)$ とすると，解析接続の一意性より $(x'(w)+i\overline{x}'(w))^2+(y'(w)+i\overline{y}'(w))^2+(z'(w)+i\overline{z}'(w))^2=0$ したがって $\mathcal{Re}(\boldsymbol{\Phi}(w))$および$\mathcal{Im}(\boldsymbol{\Phi}(w))$は 極小曲面である． この極小曲面を作る方法をシュワルツの公式という． 続く 微分幾何