微分幾何

Processing math: 11%

$\S2.$ 極小曲面の例

いくつかの極小曲面を扱います．
曲面

$f(u,v)$ の第１，第２基本形式を

$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$

$II=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$
とすると

$H=\dfrac{k_1+k_2}{2}=\dfrac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}$
です．

$EG-F^2>0$ ですから

$H=0 \Longleftrightarrow EN+GL-2FM=0$
となります．
したがって，極小曲面を求めることは

$EN+GL-2FM=0$ ・・・・①
を解くことと同じです．一般に方程式①は微分方程式になります．具体的に極小曲面を見つけていきましょう．

例１（回転曲面）
まず，回転曲面の中から極小曲面を見つけよう．

$xz$ 平面上の曲線

$x=g(z)$ すなわち

$x=g(v),z=v$
を

$z$ 軸の周りに回転して得られる回転面は

$\boldsymbol{f}(u,v)=(g(v)\cos u,g(v)\sin u,v)$
である．したがって

$\boldsymbol{f}_u=(-g(v)\sin u,g(v)\cos u,0)$

$\boldsymbol{f}_v=(g'(v)\cos u,g'(v)\sin u,1)$

$\boldsymbol{f}_{uu}=(-g(v)\cos u,-g(v)\sin u,0)$

$\boldsymbol{f}_{uv}=(-g'(v)\sin u,g'(v)\cos u,0)$

$\boldsymbol{f}_{vv}=(g''(v)\cos u,g''(v)\sin u,0)$

$\boldsymbol{n}\parallel (\cos u,\sin u,-g'(v))$
より

$E=g(v)^2,F=0,G=1+g'(v)^2$

$L=-g(v),M=0,N=g''(v)$
（第２基本量は正確には

$|n|$ で割る必要があるが，

$H=0$ の場合を考えるので必要ない）
したがって，

$LG+EN-2MF$

$=-g(v)(1+g'(v)^2)$

$+g(v)^2g''(v)=0$
よって，

$g$ についての微分方程式

$gg''=1+g'^2$ ・・・②
を得る．
②の微分方程式をここでは解きません．

$g(v)=a\cosh \left(\dfrac{v}{a}+b\right)$
が②を満たすことを確認するだけにとどめる．

$g'(v)=\sinh \left(\dfrac{v}{a}+b\right),$

$g''(v)=\dfrac{\cosh \left(\frac{v}{a}+b\right)}{a}$
より，②が成り立つことがわかる．すなわち，懸垂曲線を

$z$ 軸に回転させた曲線が極小曲面です(右上図は

$a=1,b=0$ の場合)．

２円

$C_1,C_2$ を上下において，

$C_1,C_2$ を境界とする面積最小の曲面は懸垂面です．境界が2円

$C_1,C_2$ とする面積最小の曲面は，直感的には右の図のように円柱です．しかし，懸垂面と円柱を並べて見比べると，懸垂面は中が小さい円になっているので面積が小さくなっているのですね．これは粘性のある石鹸水を用いれば簡単にでき受けのよい実験になります．

例２（線織面の極小曲面）
つぎは線織面(せんしきめんorせんしょくめん)の中で極小曲面を見つけます．
まず，線織面の定義をします．
曲線

$\boldsymbol{f}(u)$ の各点に一つ方向ベクトル

$\boldsymbol{g}(u)$ を定義する．このとき

$\boldsymbol{F}(u,v)=\boldsymbol{f}(u)+v\boldsymbol{g}(u) \ \ (-\infty$ ＜

$v$ ＜

$\infty )$
で定義される曲面

$F(u,v)$ を線織面といいます．
線織面は，曲線

$\boldsymbol{f}(u)$ 上の点

$P$ にその点を通る方向ベクトル

$\boldsymbol{g}(u)$ の直線が対応し，

$P$ が曲線

$\boldsymbol{f}(u)$ を動くときの対応する直線が通過する部分により得られる曲面のことです．
線織面で極小曲面になるのは平面か常螺旋面であることが知られており，
大槻富之助著　微分幾何学　朝倉書店　
に見事な証明がある．そちらを参照していただきたい．

ここでは,線織面のうち，単位円柱面上の曲線より得られる

$\boldsymbol{F}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,f(v))$ ・・・①
が極小曲面になるための

$f(v)$ の条件を調べます．

$\boldsymbol{F}_u=(\cos v,\sin v,0)$

$\boldsymbol{F}_v=(-u\sin v,u\cos v,f'(v))$

$\boldsymbol{n}=\dfrac{(\sin vf'(v),-\cos vf'(v),u)}{\Delta}$

$(\Delta =\sqrt{f'(v)^2+u^2})$

$\boldsymbol{F}_{uu}=(0,0,0)$

$\boldsymbol{F}_{uv}=(-\sin v,\cos v,0)$

$\boldsymbol{F}_{vv}=(-u\cos v,-u\sin v,f''(v))$

$E=1,F=0,L=0$
であるので

$G,M$ は計算する必要がない．

$N=\dfrac{uf"(v)}{\Delta}$

$2H=EN+GL-2FM=EN$

$=\dfrac{uf''(v)}{\Delta}$
したがって，

$f''(v)=0$
を得る．したがって，

$f(v)=av+b$
であるので，常螺旋面ある．
右図は，

$a=1,b=0$ で

$-3\leqq u \leqq 3,0\leqq v \leqq 4\pi$ の場合である．
図で

$u=3$ の場合の円柱らせんと

$u=-3$ の円柱らせんに注目しよう．対になっているのがわかるだろうか．たとえば

$-3\leqq u\leqq -2$ と

$2\leqq u\leqq 3$ の部分を一つの座標軸に書くと２重らせん面ができる．すなわち２重らせんは常らせん面の一部である．極小曲面は自然界によくあられる曲面であるので，DNAの配列が２重らせんになっているのことは自然なのでしょう．

右の図は2重らせんが常らせん面の一部であることを説明する図です．

$-3\leqq u\leqq -t,t\leqq u\leqq 3$ の場合の２重らせん面を表しています．

例３
曲面

$\boldsymbol{F}(u,v)=(u,v,f(v/u))$
すなわち

$z=f\left(\dfrac{y}{x}\right)$
が極小曲面となるときの

$f$ を求めよう．．

$\boldsymbol{F}_u=(1,0,\dfrac{-f'(v/u)v}{u^2})$

$\boldsymbol{F}_v=(0,1,\dfrac{f'(v/u)}{u})$

$\boldsymbol{F}_{uu}=(0,0,\dfrac{f"(v/u)v^2+2f'(v/u)uv}{u^4})$

$\boldsymbol{F}_{uv}=(0,0,\dfrac{-(f"(v/u)v+f'(v/u)u)}{u^3})$

$\boldsymbol{F}_{vv}=(0,0,\dfrac{f"(v/u)}{u^2})$

$\boldsymbol{F}_{uu},\boldsymbol{F}_{uv},\boldsymbol{F}_{vv}$ は

$z$ 成分だけなので法線ベクトル

$n$ は計算する必要はない．

$E=1+\dfrac{f(v/u)^2v^2}{u^4}$

$F=-\dfrac{f'(v/u)^2v}{u^3}$

$G=1+\dfrac{f'(v/u)^2}{u^2}$

$L,M,N$ の代わりに，

$F_{uu},F_{uv},F_{vv}$ の

$z$ 成分を用いればよく，

$H=0$ より

$2f'(v/u)uv+f''(v/u)(u^2+v^2)=0$ ・・・①
を得る(分母を払って計算すれば簡単に得られる)．
微分方程式①を解こう． ①の両辺を

$u^2$ で割り，

$v/u=x,f'(v/u)=y$
とおくと，

$y'(1+x^2)+2xy=0$

$\therefore \dfrac{dy}{y}=\dfrac{-2xdx}{1+x^2}$
積分して，

$\log y=-\log (1+x^2)+c$

$\therefore f'(x)=y=\dfrac{c}{1+x^2}$

$x$ で積分することより

$f(x)=c\arctan x +d$
したがって，

$z$ 軸方向の平行移動を無視すれば

$f(u,v)=(u,v,c \arctan (v/u))$
すなわち

$z=c\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)$ ・・・①
である．この曲面は常らせん面である．実際

$x=u\cos v,y=u\sin v,z=cv$
を①の右辺に代入すると

$c\arctan \left(\dfrac{u\sin v}{u\cos v}\right)=cv$

続く

微分幾何