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$\S1.$ 極小曲面 ガウス曲率$K=0$の曲面は線織面の性質を用いて研究されました． ここではもう一つの平均曲率$H=0$の曲面の性質を調べます． 3次元空間に閉曲線$C$が与えれたとき，$C$が境界である曲面のうち，その面積が極小のものが存在します． それは，たとえば針金で，境界をつくりそれを石鹸水の中にいれ，取り出したときにできる膜がその曲面です． ここでは，この面積極小の曲面が平均曲率$H$が$H=0$を満たすことを証明します． それゆえに$H=0$の曲面を極小曲面といいます． まず，平均曲率$H$の復習から始めましょう． 曲面$S:\boldsymbol{f}(u,v)=(f^1(u,v),f^2(u,v),f^3(u,v))$ の点$P$における法曲率$k_n$ の最大値，最小値をそれぞれ$k_1,k_2$ とする． ここで $H=\dfrac{k_1+k_2}{2}$ とおき，$H$を点$P$における平均曲率という． さらに，曲面$S:\boldsymbol{f}(u,v)$の第１，第２基本形式を $I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ $II=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$ とすると $H=\dfrac{k_1+k_2}{2}=\dfrac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}$ である． $H$を$u,v$をそれぞれ$u_1,u_2$ $E=g_{11},F=g_{12}=g_{21},G=g_{22}$ $L=h_{11},M=h_{12}=h_{21},N=h_{22}$ として，書き直す． なお， $g=g_{11}g_{22}-g_{12}^2$ とおくと $\begin{pmatrix} g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix} $ の逆行列 $\begin{pmatrix} g^{11}&g^{12}\\g^{21}&g{22}\end{pmatrix} $ は $g^{11}=\dfrac{g_{22}}{g},g^{12}=g^{21}=-\dfrac{g_{12}}{g},g^{22}=\dfrac{g_{11}}{g}$ である． $g_{ij},h_{ij}$で$H$を表すと， $2H=\dfrac{g_{22}h_{11}+g_{11}h_{22}-2g_{12}h_{12}}{g}$ $=g^{11}h_{11}+g^{22}h_{22}+g^{12}h_{12}+g^{21}h_{21}$ $=g^{ij}h_{ij}$・・・@ @がこれからの変形で出てきます． まず，平均曲率$H=0$の曲面を極小曲面といわれる理由を説明します．結論を言えば，境界である空間内の曲線$C$を与えたとき，境界が$C$の曲面のうち 面積極小の曲面が$H=0$を満たすからです． ここでは用いるのは変分法です．変分法というと難しいという先入観を持ちますが 比較的簡単です． 境界が$C$である曲面 $S:\boldsymbol{f}(u^1,u^2),(u^1,u^2)\in U$ の面積は $\displaystyle \iint_U\sqrt{g}du^1du^2$ である．ただし，$g=g_{11}g_{22}-g_{12}^2$． ここで出てきた $\sqrt{g}du^2du^2$ は曲面の面積要素と呼ばれている． 曲面$S$の各点における２つのベクトル$\boldsymbol{f}_1(=\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial u^1}), \boldsymbol{f}_2(=\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial u^2})$の決める 平行四辺形の面積は$|\boldsymbol{f}_1\times \boldsymbol{f}_2|$であり(曲面を表す式の下付きの添え字は偏微分を表す)， $|\boldsymbol{f}_1\times \boldsymbol{f}_2|^2=(\boldsymbol{f}_1\times \boldsymbol{f}_2)\cdot(\boldsymbol{f}_1\times \boldsymbol{f}_2)$ $=(\boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_1)(\boldsymbol{f}_2\cdot \boldsymbol{f}_2)-(\boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_2)^2 \ \ (\because$ラグランジュの恒等式$)$ $=g_{11}g_{22}-g_{12}^2=g$ が成り立つので，面積要素という理由が分かると思う． これから示すのは次の定理です． 定理 閉曲線$C$が与えられている．$C$が境界である面積極小の曲面は平均曲率$H=0$である． 証明 曲面$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$の境界を$C$とし，曲面$\boldsymbol{f}$を境界$C$上は変えずに法線ベクトル方向に変化させる．その変化させた曲面を $\boldsymbol{F}(u^1,u^2,\epsilon)=\boldsymbol{f}(u^1,u^2)+\epsilon k(u^1,u^2)\boldsymbol{n}(u^1,u^2)$ で定義する． ここで，$k(u^1,u^2)$は$C$上で$0$の関数．$\boldsymbol{n}(u^1,u^2)$は$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$における単位法線ベクトル，$\epsilon$は 十分小さな定数． 曲面$\boldsymbol{F}(u^1,u^2,\epsilon),(u^1,u^2)\in U$の面積を計算する． $\boldsymbol{F}_i=f_i+\epsilon k_i\boldsymbol{n}+\epsilon k\boldsymbol{n}_i$ である．さらに， $\boldsymbol{h}_{ij}=\boldsymbol{f}_{ij}\cdot \boldsymbol{n}=-\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{n}_j=-f_j\cdot \boldsymbol{n}_i$ および， $\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{n}=0,\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{n}_i=0 \ (\because |\boldsymbol{n}|=1)$ より，曲面$\boldsymbol{F}(u^1,u^2,\epsilon)$の第１基本量を$g_{ij}^{\ast}$とすると $g_{ij}^{\ast}=\boldsymbol{F}_i\cdot \boldsymbol{F}_j=g_{ij}-2\epsilon k\boldsymbol{h}_{ij}+\epsilon ^2(\sharp)$ 後で計算するのは$\epsilon $で微分し，$\epsilon \to 0$とするので$(\sharp)$は計算する必要がない． $g^{\ast}=g_{11}^{\ast}g_{22}^{\ast}-(g_{12}^{\ast})^2$ を$(\sharp)$を無視して計算する． $(g_{11}-2\epsilon kh_{11})(g_{22}-2\epsilon kh_{22})-(g_{12}-2\epsilon kh_{12})^2$ $=g-2\epsilon k(g_{22}h_{11}+g_{11}h_{22}-g_{12}h_{12}-g_{21}h_{21})+\epsilon ^2(\sharp) \ \ \ \ (\because g_{12}h_{12}=g_{21}h_{21})$ $=g\{1-2\epsilon k(g^{11}h_{11}+g^{22}h_{22}+g^{12}h_{12}+g^{21}h_{21})\}+\epsilon ^2(\sharp)$ $=g(1-4\epsilon kH)+\epsilon ^2(\sharp) \ \ \ \ (\because 2H=g^{ij}h_{ij})$ $\therefore g^{\ast}=g(1-4\epsilon k(u^1,u^2)H)+\epsilon ^2(\sharp)$ したがって，曲面$\boldsymbol{F}(u^1,u^2,\epsilon),(u^1,u^2)\in U$の面積$S_{\epsilon}$は $\displaystyle S_{\epsilon}=\iint_U\sqrt{g\left(1-4\epsilon k(u^1,u^2)H\right)+\epsilon ^2(\sharp)}du^1du^2$ となる． $S_{\epsilon}$を$\epsilon$で微分する. すなわち，積分の中を$\epsilon$で微分すると $\dfrac{1}{2}\dfrac{-4gkH+\epsilon(\flat)}{\sqrt{g(1-4\epsilon kH)+\epsilon ^2(\sharp)}}$ したがって， $\displaystyle \dfrac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon =0}=-2\iint_Uk(u_1,u_2)H\sqrt{g}du^1du^2$ $S$が極小のとき任意の$k(u^1,u^2)$でこの積分の値が$0$であるから，$H=0$が証明された． この証明は，面積が極小を与える曲面が$H=0$を満たすということである．極小を与える曲面が最小である保証はないし， 最小曲面の存在を示したわけではない． なお，証明の中で変分は法線ベクトルの方向だけを考えている．$H=0$を得るだけならそれで十分だということです． 以下極小曲面の具体的な例を扱い後半極小曲面の作り方について解説する． 続く 微分幾何 |