$\S10.$エンネパー極小曲面
正則関数$\phi (z)$を定め，$F(z),G(z),H(z)$を
$\displaystyle F(z)=\dfrac{1}{2}\int (1-z^2)\phi (z)dz,$
$\displaystyle G(z)=\dfrac{i}{2}\int (1+z^2)\phi (z)dz,$
$\displaystyle H(z)=\int z\phi (z)dz$
によって定義する．このとき，$F,G,H$の実部，虚部により定義された曲面
$\boldsymbol{p}(u,v)=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z))
=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
$\boldsymbol{q}(u,v)=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z))
=(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))$
はともに極小曲面である．
ここでは，一番簡単な$\phi (z)=6$の場合を考えよう．
$\displaystyle F(z)=3\int (1-z^2)dz=3z-z^3,$
$\displaystyle G(z)=3i\int (1+z^2)dz=i(3z+z^3),$
$\displaystyle H(z)=6\int zdz=3z^2$
$z=u+iv$とおくと
$F(z)=(-u^3+3uv^3+3u)+i(-3u^2v+v^3+3v)$
$G(z)=(-3u^2v+v^3-3v)+i(u^3-3uv^2+3u)$
$H(z)=3(u^2-v^2)+6iuv$
実部，虚部を取り
$\boldsymbol{p}(u,v)=(-u^3+3uv^2+3u,-3u^2v+v^3-3v,3u^2-3v^2)$
$\boldsymbol{q}(u,v)=(-3u^2v+v^3+3v,u^3-3uv^2+3u,6uv)$
曲面$\boldsymbol{p}(u,v)$をエンネパー(Enneper)極小曲面，
曲面$\boldsymbol{q}(u,v)$を曲面$\boldsymbol{p}(u,v)$の共役極小曲面という．
次の図はエンネパー極小曲面$\boldsymbol{p}(u,v)$である
次の図はエンネパー極小曲面の共役極小曲面$\boldsymbol{q}(u,v)$である．
図はともに，
$-s$<$u$<$s,-s$<$v$<$s$
の範囲で描いている．
右図はエンネパー極小曲面の随伴極小曲面である．
さて，式からわかるように，共役極小曲面の各成分はもとの曲面を定める関数の共役調和関数である．
エンネパー極小曲面もその共役極小曲面も共に１基本量$F=0$,第２基本量
$M=\mathcal{Im}(\phi (z))=0$
であるから，等温座標系$(u,v)$は曲率線座標である．すなわち，座標曲線
$u$線,$v$線が曲率線になっている．
逆に，
$M=\mathcal{Im}(\phi (z))=0$
は$\phi (z)$が実数を意味し，実数の正則関数は定数だけであるから，極小曲面で等温座標系$(u,v)$
が曲率線で平面曲線となるのはエンネパー極小曲面だけであることがわかる．
(窪田忠彦著 微分幾何学 160ページ).
なお，曲率線とは，接線が常に主方向である曲線のことであり，
座標曲線がともに曲率線$\Longleftrightarrow \ \ F=0,M=0$
エンネパー曲面の座標曲線はともに平面曲線である．
実際，
$\det (\boldsymbol{p}_u \ \boldsymbol{p}_{uu} \ \boldsymbol{p}_{uuu})=0,$
$\det (\boldsymbol{p}_v \ \boldsymbol{p}_{vv} \ \boldsymbol{p}_{vvv})=0,$
は容易に示すことができる．
具体的に$u$線を含む平面を求めよう．
$u$線の接触平面を求めればよく，その平面が$u$に関係しないことを示しても，平面曲線を意味している．
$\boldsymbol{p}(u,v)$における$u$線の接触平面の法線ベクトルは
$(0,1,v)$
であるから，接触平面は
$y-(-3u^2v+v^3-3v)+v(z-3u^2+3v^2)=0$
$\therefore y+vz+2v^3+3v=0$
同様に，$v$線を含む平面は
$x+uz-2u^3-3u=0$
である．
エンネパー曲面の座標曲線が平面曲線であることを示すのが右図である．
なお共役曲面$\boldsymbol{q}(u,v)$は当然この性質はない（エンネパー極小曲面だけがこの性質を持つ）．
エンネパー曲面の点$\boldsymbol{p}(u,v)$における接平面の方程式は，法線ベクトルが
$(2u,2v,u^2+v^2-1)$
であるから
$2ux+2vy+(u^2+v^2-1)z$
$-u^4+v^4-3u^2+3v^2=0$
である．
一方，この平面は，２つの放物線
$C_1:(4u,0,2u^2-1)$
$C_2:(0,-4v,-2v^2+1)$
の任意の２点を結ぶ線分の垂直二等分面になってる．すなわち，エンネパー曲面は，2つの放物線
$C_1,C_2$の任意の２点を結ぶ線分の垂直２等分面の包絡面である．
続く
微分幾何
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