$\S9.$ 懸垂曲面と常らせん面(2) 次に， $\phi (z)=\dfrac{1}{z^2}$ の時の随伴極小曲面を調べよう． 随伴極小曲面とは，$\phi (z)$の代わりに$\phi _s(z)=(\cos s+i\sin s)\phi (z)$ を用いて得られる極小曲面である． $\phi (z)$で定まる極小曲面のうち実部の方を $\boldsymbol{p}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 虚部の方を $\boldsymbol{q}(u,v)=(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))$ とすると， $(\cos s+i\sin s)\{(x(u,v),y(u,v),z(u,v))+i(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))\}$ $=\cos s\boldsymbol{p}(u,v)-\sin s\boldsymbol{q}(u,v) +i(\cos s\boldsymbol{q}(u,v)+\sin s \boldsymbol{p}(u,v))$ 実部，虚部を$\boldsymbol{p}(s,u,v),\boldsymbol{q}(s,u,v)$．すなわち， $\boldsymbol{p}(s,u,v)=\cos s\boldsymbol{p}(u,v)-\sin s\boldsymbol{q}(u,v)$, $\boldsymbol{q}(s,u,v)=\cos s\boldsymbol{q}(u,v)+\sin s \boldsymbol{p}(u,v)$ とおくと，$\boldsymbol{p}(s,u,v),\boldsymbol{q}(s,u,v)$は各$s$で極小曲面で， 極小曲面$\boldsymbol{p}(u,v),\boldsymbol{q}(u,v)$の随伴極小曲面という． ここで扱うのは $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$ $(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))=(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$ のときである． ここでは$\boldsymbol{p}(s,u,v)$だけを扱う．実際，$\boldsymbol{q}(s,u,v)$は $\boldsymbol{q}(s,u,v)$の$s$が$s-\frac{\pi}{2}$のときである． 極小曲面 $\boldsymbol{p}(s,u,v)=\cos s\boldsymbol{p}(u,v)-\sin s\boldsymbol{q}(u,v)$, は媒介変数$s$によって第１基本量は変わらない．これは $E=G=\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{4},F=0$ からわかる．$s=0$のとき懸垂曲面$\boldsymbol{p}(u,v)$,$s=\frac{\pi}{2}$のとき 常らせん面$-\boldsymbol{p}(u,v)$であるから，随伴極小曲面は懸垂曲面から常らせん面 への極小曲面であることを保ちさらに第１基本量を 変えない変形（これを展開的変形という）であることがわかる． 次に法線ベクトルを調べよう．すでに計算した式を利用すれば $\boldsymbol{n}=(\dfrac{2\mathcal{Re}(z)}{1+|z|^2}, \dfrac{2\mathcal{Im}(z)}{1+|z|^2},1-\dfrac{2}{1+|z|^2})$ $=\dfrac{(\cos t,\sin t,\sinh r)}{\cosh r}$ これは$\phi (z)$に関係しない．すなわち，対応する点の接平面は平行であるあることがわかる． 右図は随伴極小曲面である． 懸垂曲面と常らせん面が第１基本量を保ちながら連続的に動く様子すなわち 伸び縮みしない変形(展開的変形という)により動く様子を 表ている． この変形の様子を見ても各点伸び縮みしていないことはわかりづらい． 右図は $-2\leqq r\leqq 2,0\leqq t\leqq a \ \ \ (0.1\leqq a \leqq 2\pi)$ です（デフォルト値は$a=\pi/4$）．たとえば$a=\frac{\pi}{4}$で動かせば伸び縮みしていないことがわかりやすい． $\phi (z)$の代わりに$(\cos s+i\sin s)\phi (z)$を用いたると随伴極小曲面であるが， かけるのは$\cos s+i\sin s$に限る必要はない．$a+bi$すなわち， $\phi(z)=\dfrac{a+bi}{z^2}$ のとき得られる曲面が $(-a\cos t \cosh r+b\sin t\sinh r,$ $ -a\sin t \cosh -rb\cos t \sinh r,ar-bt)$ であり，それは右図である．このときらせん曲面があらわれる．(窪田忠彦　「微分幾何」31ページ)． 続く 微分幾何