$\S8.$ 懸垂曲面と常らせん面

正則関数$\phi (z)$を定め,$F(z),G(z),H(z)$を
$\displaystyle F(z)=\dfrac{1}{2}\int (1-z^2)\phi (z)dz,$
$\displaystyle G(z)=\dfrac{i}{2}\int (1+z^2)\phi (z)dz,$
$\displaystyle H(z)=\int z\phi (z)dz$
によって定義する.このとき,$F,G,H$の実部,虚部により定義された曲面 $\boldsymbol{p}(u,v)=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z)) =(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
$\boldsymbol{q}(u,v)=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z)) =(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))$
はともに極小曲面であることがわかった.
正則関数$\phi (z)$を具体的に定め,極小曲面を求めよう.
なお,極小曲面に関しては
窪田忠彦著 微分幾何学 岩波全書
が詳しい.あわせて読まれるとよいと思う.

最初の例は,$q$を実数として
$\phi (z)=\dfrac{q}{z^2}$
である.
$\displaystyle F(z)=\dfrac{q}{2}\int \dfrac{(1-z^2)}{z^2}dz$
$=-\dfrac{q}{2}(\dfrac{1}{z}+z)$
$\displaystyle G(z)=\dfrac{qi}{2}\int \dfrac{(1+z^2)}{z^2}dz$
$=\dfrac{qi}{2}(-\dfrac{1}{z}+z)$
$\displaystyle H(z)=q\int \dfrac{1}{z}dz=q\log z$
ここで
$z=e^{r}(\cos t+i\sin t)$
とおけば,
$F(z)=-q(\cosh r\cos t+i\sinh r\sin t)$
$G(z)=-q(\cosh r \sin t -i\sinh r \cos t)$
$H(z)=q(r+it)$
$F(z),G(z),H(z)$の実部,虚部による曲面はそれぞれ
$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z))$
$=q(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$
$(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z))$
$=q(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$
なお,
$z=u+iv=e^r(\cos t+i\sin t)$
であるから
$u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$
の変数変換をしている.当然$u,v$による第1基本形式と$r,t$による第1基本形式は異なるがそればあとで調べる.
式における,マイナスの符号が気になるなら$t+\pi$を新しく$t$とすればよい.ここで,曲面は$0\leqq t\leqq 2\pi$ で考えるのでマイナスは気にする必要はない.
以下$q=1$として曲面を考える
実部の
$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$
は懸垂曲面(catenoid)であり,虚部の
$(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))=(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$
は常らせん面である.$\sinh r$を$r$で置き換えると通常の常らせん面の方程式である.
すでに一般的に,第1基本量,第2基本量,法線ベクトルは計算してあるが,直接計算し, 一致することを確認しよう.
まず第1基本形式を調べる.
$F(z),G(z),H(z)$の実部,虚部による曲面
$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z))$
$=(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$
$(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z)) =(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$
は座標系を$z=u+iv$で決まる$(u,v)$としたとき等温座標系であることすなわち
$E=G,F=0$ であることはすでに示した通りでる.しかしここでは曲面を
$z=u+iv=e^r(\cos t+i\sin t)$
すなわち,
$u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$
と変数変換しているので,もちろん曲面が変わることがないが$(r,t)$を 新しい座標としたとき等温座標系であるかどうかは自明ではない.それを調べよう.
曲面
$S:\boldsymbol{f}(u,v)$
の第1基本形式が
$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$
のとき,変数変換
$u=u(x,y),v=v(x,y)$
によって,曲面
$S:\boldsymbol{f}(u(x,y),v(x,y))$
の第1基本形式が
$I=E'dx^2+2F'dxdy+G'dy^2$
となるとき,$E,F,G$と$E',F',G'$の関係は
$\begin{pmatrix} E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} E&F\\F&G\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$
である.なお
$u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}$
の意味で,行列における$T$はその左側の行列の転置行列を表す.
したがって,
$E=G,F=0$
の時
$\begin{pmatrix} E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix} =E\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$
したがって,
$I=E'dx^2+2F'dxdy+G'dy^2$
が等温座標系になるのは, 行列
$\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$
が直交変換と相似変換の積のときである.さらに2行2列の直交変換は原点の周りの回転変換か 原点を通る直線に関する対称変換である.
したがって,
$\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$
$=k\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}$
または
$=k\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\ \sin \theta &-\cos \theta \end{pmatrix}$
のときで,かつその時に限る.
さて,ここで扱った例を見てみよう.
$u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$
したがって,
$\begin{pmatrix}u_r&u_t\\v_r&v_t\end{pmatrix} =e^r\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t \\\sin t&\cos t\end{pmatrix}$
これで,座標系$(r,t)$に関しても等温座標系であることがわかる.


それでは
懸垂曲面(右図上.ただし$q=1$)
$catenoid=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z))$
$=(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$
常らせん面(右図下.ただし$q=1$)
$helicoid=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z))$
$=(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$
の第1基本量,法線ベクトル,第2基本量を求めよう.
定義にしたがって求めると,懸垂曲面は
$E=G=q^2\cosh ^2r,F=0,$
$\boldsymbol{n}=\dfrac{(\cos t,\sin t,\sinh r)}{\cosh r},$
$L=-N=-q,M=0$
常らせん面は
$E=G=q^2\cosh ^2r,F=0,$
$\boldsymbol{n}=\dfrac{(\cos t,\sin t,\sinh r)}{\cosh r},$
$L=-N=0,M=-q$
である.ここで,$q$は相似拡大であるから$q$によって曲面の形は変わらない.

以下$q=1$として話をすすめる.
第1基本量,第2基本量がすでに求めた一般的な値すなわち $\phi (z)$より得た2つの極小曲面のうち,実部のほうの(虚部は$-i\phi (z)$を 考えればよい.)第1基本量,第2基本量は
$E=G=\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{4},F=0$
$L=-N=-\mathcal{Re}(\phi (z)),M=\mathcal{Im}(\phi (z))$
と一致することを確かめよう.もちろん,これは今までの計算が正しければ当然一致するはずで, 計算の正しさと,今までの議論の正しさの確認で本質的には意味がない.
$z=u+iv=e^r(\cos t+i\sin t)$
すなわち
$u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$
と媒介変数を変換している.
曲面$\boldsymbol{f}(u,v)$の第1基本量,第2基本量が
$E,F,G;L,M,N$
$u=u(x,y),v=v(x,y)$
を変数変換したときの曲面
$\boldsymbol{f}(u(x,y),v(x,y))$の第1基本量,第2基本量 $E',F',G',L',M',N'$
には
$\begin{pmatrix} E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} E&F\\F&G\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} L'&M'\\M'&N'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$
の関係がある.
$u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$
をあてはめる.
$\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{4}=\dfrac{(1+e^{2r})^2\cdot e^{-4r}}{4}$
であるから
$\begin{pmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix}$
$=e^r\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{(1+e^{2r})^2\cdot e^{-4r}}{4}&0\\0& \dfrac{(1+e^{2r})^2\cdot e^{-4r}}{4}\end{pmatrix} e^r\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix} $
$=\begin{pmatrix}\cosh^2r &0\\0&\cosh^2r\end{pmatrix}$
$\therefore E=G=\cosh ^2r,F=0$

第2基本量も確認しよう.
$L=-N=-\mathcal{Re}(\phi (z))=-e^{-2r}\cos t,$
$M=\mathcal{Im}(\phi (z))=-e^{2r}\sin t$
したがって,
$e^r\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-e^{-2r}\cos t&-e^{-2r}\sin t\\-e^{-2r}\sin t&e^{-2r}\cos t\end{pmatrix} e^r\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix} $
$=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$
$\therefore L=-1,M=0,N-1$
一致することが確認できた.


続く



微分幾何