$\S8.$ 懸垂曲面と常らせん面 正則関数$\phi (z)$を定め，$F(z),G(z),H(z)$を $\displaystyle F(z)=\dfrac{1}{2}\int (1-z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle G(z)=\dfrac{i}{2}\int (1+z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle H(z)=\int z\phi (z)dz$ によって定義する．このとき，$F,G,H$の実部，虚部により定義された曲面 $\boldsymbol{p}(u,v)=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z)) =(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ $\boldsymbol{q}(u,v)=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z)) =(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))$ はともに極小曲面であることがわかった． 正則関数$\phi (z)$を具体的に定め，極小曲面を求めよう． なお，極小曲面に関しては 窪田忠彦著　微分幾何学　岩波全書 が詳しい．あわせて読まれるとよいと思う． 最初の例は，$q$を実数として $\phi (z)=\dfrac{q}{z^2}$ である． $\displaystyle F(z)=\dfrac{q}{2}\int \dfrac{(1-z^2)}{z^2}dz$ $=-\dfrac{q}{2}(\dfrac{1}{z}+z)$ $\displaystyle G(z)=\dfrac{qi}{2}\int \dfrac{(1+z^2)}{z^2}dz$ $=\dfrac{qi}{2}(-\dfrac{1}{z}+z)$ $\displaystyle H(z)=q\int \dfrac{1}{z}dz=q\log z$ ここで $z=e^{r}(\cos t+i\sin t)$ とおけば， $F(z)=-q(\cosh r\cos t+i\sinh r\sin t)$ $G(z)=-q(\cosh r \sin t -i\sinh r \cos t)$ $H(z)=q(r+it)$ $F(z),G(z),H(z)$の実部，虚部による曲面はそれぞれ $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z))$ $=q(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$ $(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z))$ $=q(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$ なお， $z=u+iv=e^r(\cos t+i\sin t)$ であるから $u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$ の変数変換をしている．当然$u,v$による第１基本形式と$r,t$による第１基本形式は異なるがそればあとで調べる． 式における，マイナスの符号が気になるなら$t+\pi$を新しく$t$とすればよい．ここで，曲面は$0\leqq t\leqq 2\pi$ で考えるのでマイナスは気にする必要はない． 以下$q=1$として曲面を考える 実部の $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$ は懸垂曲面(catenoid)であり，虚部の $(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))=(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$ は常らせん面である．$\sinh r$を$r$で置き換えると通常の常らせん面の方程式である． すでに一般的に，第１基本量，第２基本量，法線ベクトルは計算してあるが，直接計算し， 一致することを確認しよう． まず第１基本形式を調べる． $F(z),G(z),H(z)$の実部，虚部による曲面 $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z))$ $=(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$ $(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z)) =(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$ は座標系を$z=u+iv$で決まる$(u,v)$としたとき等温座標系であることすなわち $E=G,F=0$ であることはすでに示した通りでる．しかしここでは曲面を $z=u+iv=e^r(\cos t+i\sin t)$ すなわち， $u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$ と変数変換しているので，もちろん曲面が変わることがないが$(r,t)$を 新しい座標としたとき等温座標系であるかどうかは自明ではない．それを調べよう． 曲面 $S:\boldsymbol{f}(u,v)$ の第１基本形式が $I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ のとき，変数変換 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ によって，曲面 $S:\boldsymbol{f}(u(x,y),v(x,y))$ の第１基本形式が $I=E'dx^2+2F'dxdy+G'dy^2$ となるとき，$E,F,G$と$E',F',G'$の関係は $\begin{pmatrix} E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} E&F\\F&G\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$ である．なお $u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ の意味で,行列における$T$はその左側の行列の転置行列を表す． したがって， $E=G,F=0$ の時 $\begin{pmatrix} E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix} =E\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$ したがって， $I=E'dx^2+2F'dxdy+G'dy^2$ が等温座標系になるのは, 行列 $\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$ が直交変換と相似変換の積のときである．さらに２行２列の直交変換は原点の周りの回転変換か 原点を通る直線に関する対称変換である． したがって， $\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$ $=k\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}$ または $=k\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\ \sin \theta &-\cos \theta \end{pmatrix}$ のときで，かつその時に限る． さて，ここで扱った例を見てみよう． $u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$ したがって, $\begin{pmatrix}u_r&u_t\\v_r&v_t\end{pmatrix} =e^r\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t \\\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ これで，座標系$(r,t)$に関しても等温座標系であることがわかる． それでは 懸垂曲面(右図上．ただし$q=1$) $catenoid=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z))$ $=(-\cosh r\cos t,-\cosh r\sin t,r)$ 常らせん面(右図下．ただし$q=1$) $helicoid=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z))$ $=(-\sinh r\sin t,\sinh r\cos t,t)$ の第１基本量，法線ベクトル，第２基本量を求めよう． 定義にしたがって求めると，懸垂曲面は $E=G=q^2\cosh ^2r,F=0,$ $\boldsymbol{n}=\dfrac{(\cos t,\sin t,\sinh r)}{\cosh r},$ $L=-N=-q,M=0$ 常らせん面は $E=G=q^2\cosh ^2r,F=0,$ $\boldsymbol{n}=\dfrac{(\cos t,\sin t,\sinh r)}{\cosh r},$ $L=-N=0,M=-q$ である．ここで，$q$は相似拡大であるから$q$によって曲面の形は変わらない． 以下$q=1$として話をすすめる． 第1基本量,第2基本量がすでに求めた一般的な値すなわち $\phi (z)$より得た２つの極小曲面のうち，実部のほうの(虚部は$-i\phi (z)$を 考えればよい．)第１基本量，第２基本量は $E=G=\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{4},F=0$ $L=-N=-\mathcal{Re}(\phi (z)),M=\mathcal{Im}(\phi (z))$ と一致することを確かめよう．もちろん，これは今までの計算が正しければ当然一致するはずで， 計算の正しさと，今までの議論の正しさの確認で本質的には意味がない． $z=u+iv=e^r(\cos t+i\sin t)$ すなわち $u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$ と媒介変数を変換している． 曲面$\boldsymbol{f}(u,v)$の第１基本量，第２基本量が $E,F,G;L,M,N$ $u=u(x,y),v=v(x,y)$ を変数変換したときの曲面 $\boldsymbol{f}(u(x,y),v(x,y))$の第１基本量，第２基本量 $E',F',G',L',M',N'$ には $\begin{pmatrix} E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} E&F\\F&G\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} L'&M'\\M'&N'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}$ の関係がある． $u=e^r\cos t,v=e^r\sin t$ をあてはめる． $\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{4}=\dfrac{(1+e^{2r})^2\cdot e^{-4r}}{4}$ であるから $\begin{pmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix}$ $=e^r\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{(1+e^{2r})^2\cdot e^{-4r}}{4}&0\\0& \dfrac{(1+e^{2r})^2\cdot e^{-4r}}{4}\end{pmatrix} e^r\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix} $ $=\begin{pmatrix}\cosh^2r &0\\0&\cosh^2r\end{pmatrix}$ $\therefore E=G=\cosh ^2r,F=0$ 第２基本量も確認しよう． $L=-N=-\mathcal{Re}(\phi (z))=-e^{-2r}\cos t,$ $M=\mathcal{Im}(\phi (z))=-e^{2r}\sin t$ したがって， $e^r\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-e^{-2r}\cos t&-e^{-2r}\sin t\\-e^{-2r}\sin t&e^{-2r}\cos t\end{pmatrix} e^r\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix} $ $=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ $\therefore L=-1,M=0,N-1$ 一致することが確認できた． 続く 微分幾何