$\S7.$ 極小曲面の第２基本量 \boldsymbol{次に極小曲面 $\boldsymbol{p}(u,v)=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z)) =(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ の第2基本量を求めよう． まず法線ベクトルを求める． 第１基本量は成分を計算しなくとも簡単にわかったが，法線ベクトルや第２基本量は成分計算したほうがわかりやすい． $z=u+iv,\phi (z)=a+ib$ とおく． $\boldsymbol{p}_u(u,v)=\left(\mathcal{Re}(F'(z)),\mathcal{Re}(G'(z)),\mathcal{Re}(H'(z))\right)$ $\boldsymbol{p}_v(u,v)=-\left(\mathcal{Im}(F'(z)),\mathcal{Im}(G'(z)),\mathcal{Im}(H'(z))\right)$ である．一方， $F'(z)=\dfrac{1}{2}(1-z^2)\phi (z)$ $=\dfrac{a(1-u^2+v^2)+2buv}{2}+i\dfrac{b(1-u^2+v^2)-2auv}{2}$ 同様の計算により $\boldsymbol{p}_u(u,v) =(\dfrac{a(1-u^2+v^2)+2buv}{2},\dfrac{-b(1+u^2-v^2)-2auv}{2},au-bv)$ $\boldsymbol{p}_v(u,v) =(\dfrac{-b(1-u^2+v^2)+2auv}{2},\dfrac{-a(1+u^2-v^2)+2buv}{2},-av-bu)$ を得る． 後は単純な計算なので結果のみを記す． 単位法線ベクトルは $\boldsymbol{n}=(\dfrac{2u}{1+u^2+v^2},\dfrac{2v}{1+u^2+v^2}, 1-\dfrac{2}{1+u^2+v^2})$ $=(\dfrac{2\mathcal{Re}(z)}{1+|z|^2},\dfrac{2\mathcal{Im}(z)}{1+|z|^2},1-\dfrac{2}{1+|z|^2})$ 第２基本量は $L=-N=p_{uu}\cdot n=-p_u\cdot n_u=-a=-\mathcal{Re}(\phi (z))$ $M=p_{uv}\cdot n=-p_u\cdot n_v=b=\mathcal{Im}(\phi (z))$ である． まず法線ベクトルに注目しよう．極小曲面は正則関数$\phi (z)$によって決まるのであるが，法線ベクトルは $\phi (z)$に関係しない．したがって，随伴極小曲面$\boldsymbol{p}(t,u,v)$は対応点における法線ベクトルは 平行,言い方を変えれば対応点の接平面が平行であることがわかる． 第１基本量は $E=G=\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{4},F=0$ であるから，ガウス曲率は $K=\dfrac{LN-M^2}{EG}=\dfrac{-16}{(1+|z|^2)^4|\phi (z)|^2}$ 次に，極小曲面のガウス写像を調べる． ガウス写像の第１基本形式，すなわち曲面の第３基本形式は， $III=2HII-KI$ が成り立つ．ここで$I,II,III$はそれぞれ第１，第２，第３基本形式である． $H=0$であるから $III=-KI=-KEdu^2-KEdv^2$ したがって，ガウス写像は共形写像である． 続く 微分幾何