$\S6.$ 随伴極小曲面 今までの内容をまとめると次のようになる． 正則関数$\phi (z)$を定め，$F(z),G(z),H(z)$を $\displaystyle F(z)=\dfrac{1}{2}\int (1-z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle G(z)\dfrac{i}{2}\int (1+z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle H(z)=\int z\phi (z)dz$ によって定義する．このとき，$F,G,H$の実部，虚部により定義された曲面 $\boldsymbol{p}(u,v)=(\mathcal{Re}(F(z)),\mathcal{Re}(G(z)),\mathcal{Re}(H(z)) =(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ $\boldsymbol{q}(u,v)=(\mathcal{Im}(F(z)),\mathcal{Im}(G(z)),\mathcal{Im}(H(z)) =(\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))$ はともに極小曲面で，第１基本量は $E+G=|F'(z)|^2+|G'(z)|^2+|H'(z)|^2=\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{2}$ であるから， $E=G=\dfrac{(1+|z|^2)^2|\phi (z)|^2}{4},F=0$ である． ここで注目すべきことは，第１基本量は$|\phi (z)|$で決まることである． そこで，$\phi (z)$の代わりに$\phi _t(z)=(\cos t +i\sin t)\phi (z)$を用いても，任意の $t$で極小曲面でさらに第１基本量は変わらないことがわかる． $\displaystyle F(t,z)=\dfrac{\cos t+i\sin t}{2}\int (1-z^2)\phi (z)dz$ $=(\cos t+i\sin t)(x(u,v)+i\bar{x}(u,v))$ $=(\cos t x(u,v)-\sin t \bar{x}(u,v))+i(\sin t x(u,v)+\cos t \bar{x}(u,v))$ 同様に計算することにより $(F(t,z),G(t,z),H(t,z))$の実部を$\boldsymbol{p}(t,u,v)$とすれば $\boldsymbol{p}(t,u,v)$ $=(\cos t x(u,v)-\sin t \bar{x}(u,v),\cos t y(u,v)-\sin t \bar{y}(u,v), \cos t z(u,v)-\sin t \bar{z}(u,v))$ $=\cos t (x(u,v),y(u,v),z(u,v))-\sin t (\bar{x}(u,v),\bar{y}(u,v),\bar{z}(u,v))$ $=\cos t \boldsymbol{p}(u,v)-\sin t \boldsymbol{q}(u,v)$ 同様に虚部は $\boldsymbol{q}(t,u,v)=\cos t \boldsymbol{q}(u,v)+\sin t \boldsymbol{p}(u,v)$ である． $\boldsymbol{p}(t,u,v),\boldsymbol{q}(t,u,v)$を 極小曲面$\boldsymbol{p}(u,v),\boldsymbol{q}(u,v)$ の随伴極小曲面または連続展開変形という． 通常考えるのは実部$\boldsymbol{p}(t,u,v)$で$0\leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$であるが，$0\leqq t \leqq 2\pi$ で考えれば，$t=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$でそれぞれ $\boldsymbol{p}(u,v),-\boldsymbol{q}(u,v),-\boldsymbol{p}(u,v),\boldsymbol{q}(u,v)$ になる．なお， $\boldsymbol{q}(t,u,v)$の$0\leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$は $\boldsymbol{p}(t,u,v)$の$\frac{3\pi}{2}\leqq t \leqq 2\pi$である． $u,v$を固定すれば，$t$による対応点の軌跡は楕円である．また，対応点における曲面の 法線は平行である. 続く 微分幾何