微分幾何

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$\S5.$ エンネパーの公式

準備が長かったが，これから本題です．
極小曲面を作る公式をつくります．
複素数変数の関数

$f(z)=x(u,v)+i\overline{x}(u,v)$
が正則な時

$f'(z)=x_u-ix_v=\overline{x}_v+i\overline{x}_u$
である．なお，

$x_u=\dfrac{\partial x(u,v)}{\partial u}$ を表しほかも同様．
複素変数の正則な３つの関数，

$F(z)=x(u,v)+i\overline{x}(u,v)$

$G(z)=y(u,v)+i\overline{y}(u,v)$

$H(z)=z(u,v)+i\overline{z}(u,v)$
について，

$F'(z)=f(z),G'(z)=g(z),H'(z)=h(z)$
とおく．

$f(z),g(z),h(z)$ が

$(f(z))^2+(g(z))^2+(h(z))^2=0$
を満たすとき，曲面

$S$ を

$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
曲面

$\overline{S}$ を

$(\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v))$
で定義すれば

$f^2+g^2+h^2=(x_u-ix_v)^2+(y_u-iy_v)^2+(z_u-iz_v)^2$

$=(x_u^2+y_u^2+z_u^2)-(x_v^2+y_v^2+z_v^2)+i(x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v)=0$
より，第１基本量を

$E,F,G$ とおけば

$E=G,F=0$
であるから，座標系

$(u,v)$ が等温座標系になります．
また

$E+G=|f|^2+|g|^2+|h|^2$
より

$E=G=\dfrac{|f|^2+|g|^2+|h|^2}{2}$
となります．
同様に
曲面

$\overline{S}:(\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v))$
も等温座標系で第１基本量は

$S$ と同じになります．
以下，曲面

$S$ で解説するが

$\overline{S}$ でも同様である．
曲面

$S:\overrightarrow{p}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
とおいて解説する．以下

$:\overrightarrow{p}(u,v)$ についてベクトル表記はせず

$p(u,v)$ と表す．

$p_u\cdot p_u=p_v\cdot p_v, \ p_u\cdot p_v=0$
第１式を

$u$ で偏微分し第２式を

$v$ で偏微分することより

$p_{uu}\cdot p_u=p_{vu}\cdot p_v=-p_{vv}\cdot p_u$

$\therefore (p_{uu}+p_{vv})\cdot p_u=0$
第１式を

$v$ で偏微分し，第２式を

$u$ で偏微分することにより

$p_{vv}\cdot p_v=p_{uv}\cdot p_u=-p_{uu}\cdot p_v$

$\therefore (p_{uu}+p_{vv})\cdot p_v=0$
ここでラプラシアンの記号

$\triangle$ 用いて

$\triangle p=p_{uu}+p_{vv}$
と表せば，

$\triangle p\cdot p_u=\triangle p\cdot p_v=0$
この曲面の単位法線ベクトル

$\overrightarrow{n}$ を

$n=\dfrac{p_u\times p_v}{|p_u\times p_v|}$
とすれば，第２基本量

$L,M,N$ は，

$L=p_{uu}\cdot n,N=p_{vv}\cdot n$
一方，この曲面の平均曲率

$H$ は

$E=G,F=0$ に注意すれば

$H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}=\dfrac{E(L+N)}{2(EG-F^2)}$
したがって，等温座標では

$H=0\Longleftrightarrow L+N=0\Longleftrightarrow \triangle p\cdot n=0$
ゆえに等温座標では
曲面

$S$ が極小曲面

$\Longleftrightarrow \triangle p=0\Longleftrightarrow x(u,v),y(u,v),z(u,v)$ が調和関数
ここまでの内容をまとめると次のようになる．
３つの正則な関数

$F(z),G(z),H(z)$ について，その導関数

$F'(z)=f(z),G'(z)=g(z),H'(z)=h(z)$
が

$f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$
を満たすとき，

$F(z),G(z),H(h)$ の実部

$\mathcal{Re}(f^1(z))=x(u,v),\mathcal{Re}(f^2(z))=y(u,v),\mathcal{Re}(f^3(z))=z(u,v)$ による曲面

$S:(x(u,v),y(u,v),(u,v))$
は極小曲面である．

逆が成り立つことも確認しよう．
曲面

$S$ が極小曲面の時，各点の周りで等温座標系が存在するから

$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
を等温座標系とする．
このとき，

$x(u,v),y(u,v),z(u,v)$ は調和関数である．

$f(u+iv)=x_u(u,v)-ix_v(u,v)$
とおくと，コーシー・リーマンの微分法方程式は

$x_{uu}=-y_{vv},x_{uv}=x_{vu}$
であり，第１式は調和関数を意味し，第２式は自明な等式である．
したがって，

$f(x+iy)$ は正則関数である．

$g(u+iv)=y_u(u,v)-iy_v(u,v)$

$h(u+iv)=z_u(u,v)-iz_v(u,v)$
も同様に正則である．さらに

$(u,v)$ は等温座標系より

$f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$
を満たす．

$x(u,v),y(u,v),z(u,v)$ は

$F(z)=\int f(z)dz,G(z)=\int g(z)dz,H(z)=\int h(z)dz$
の実部である．もちろん虚部も同様に成り立つ．

さて，以上のことより，

$f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$
を満たす

$f(z),g(z),h(z)$ を見つけることが重要問題であることがわかる．
この問題を解決しましょう．

$f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$

$(f+ig)(f-ig)=-h^2$
より

$-\dfrac{f+ig}{h}=\dfrac{h}{f-ig}=t(z)$
とおけば，

$f+ig=-ht$

$f-ig=\dfrac{h}{t}$
より

$f=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{t}-t)h,g=\dfrac{i}{2}(\dfrac{1}{t}+t)h$
ここで

$\displaystyle F=\int fdz,G=\int gdz,H=\int hdz$
とおく．

$\displaystyle H=\int \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{t}-t)hdz$ ,

$\displaystyle G=\int \dfrac{i}{2}(\dfrac{1}{t}+t)hdz$ ,

$\displaystyle H=\int h dz$

$t=t(z)$ による

$t$ を新しい変数とするすると

$dz=\dfrac{dt}{t'(z)}$
あるから，

$\phi(t) =\dfrac{h(z)}{t(z)t'(z)}$
とおけば

$\displaystyle F=\dfrac{1}{2}\int (1-t^2)\phi (t)dt,$

$\displaystyle G=\dfrac{i}{2}\int (1+t^2)\phi (t)dt,$

$\displaystyle H=\int t\phi (t)dt$ を得る．
このままでもよいが，文字を

$t$ を

$z$ に置き換えて，

$\displaystyle F(z)=\dfrac{1}{2}\int (1-z^2)\phi (z)dz,$

$\displaystyle G(z)=\dfrac{i}{2}\int (1+z^2)\phi (z)dz,$

$\displaystyle H(z)=\int z\phi (z)dz$
を得る．
この式をEnneperの公式という．
また，

$\phi (z)$ を３度不定積分した関数を

$\Phi (z)$ とおけば，すなわち

$\Phi ^{(3)}(z)=\phi (z)$
とすれば，部分積分することにより

$F(z)=\dfrac{1}{2}(1-z^2)\Phi "(z)+z\Phi '(z)-\Phi (z)$

$G(z)=\dfrac{i}{2}(1+z^2)\Phi "(z)-iz\Phi '(z)+i\Phi (z)$

$H(z)=z\Phi "(z)-\Phi '(z)$
をえる．この式をWeierstrassの公式という．
要するに，正則関数

$\phi (z)$ を一つ定め，積分することにより

$F(z),G(z),H(z)$
が求まり，

$\mathcal{Re}(z),\mathcal{Im}(z)$ をそれぞれ複素数

$z$ の実部，虚部とすれば，

$(\mathcal{Re}(F),\mathcal{Re}(G),\mathcal{Re}(H))$
および

$(\mathcal{Im}(F),\mathcal{Im}(G),\mathcal{Im}(H))$
が極小曲面になる．
パソコンを用いれば，正則関数

$\phi (z)$ を任意に用いて自由に曲面を描くことができるが，実際に曲面を求めるとなると，正則関数

$\phi (z)$ は選ばなければならない．

続く

微分幾何