$\S5.$エンネパーの公式 準備が長かったが，これから本題です． 極小曲面を作る公式をつくります． 複素数変数の関数 $f(z)=x(u,v)+i\overline{x}(u,v)$ が正則な時 $f'(z)=x_u-ix_v=\overline{x}_v+i\overline{x}_u$ である．なお，$x_u=\dfrac{\partial x(u,v)}{\partial u}$を表しほかも同様． 複素変数の正則な３つの関数， $F(z)=x(u,v)+i\overline{x}(u,v)$ $G(z)=y(u,v)+i\overline{y}(u,v)$ $H(z)=z(u,v)+i\overline{z}(u,v)$ について， $F'(z)=f(z),G'(z)=g(z),H'(z)=h(z)$ とおく． $f(z),g(z),h(z)$が $(f(z))^2+(g(z))^2+(h(z))^2=0$ を満たすとき，曲面$S$を $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 曲面$\overline{S}$を $(\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v))$ で定義すれば $f^2+g^2+h^2=(x_u-ix_v)^2+(y_u-iy_v)^2+(z_u-iz_v)^2$ $=(x_u^2+y_u^2+z_u^2)-(x_v^2+y_v^2+z_v^2)+i(x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v)=0$ より，第１基本量を$E,F,G$とおけば $E=G,F=0$ であるから，座標系$(u,v)$が等温座標系になります． また $E+G=|f|^2+|g|^2+|h|^2$ より $E=G=\dfrac{|f|^2+|g|^2+|h|^2}{2}$ となります． 同様に 曲面$\overline{S}:(\overline{x}(u,v),\overline{y}(u,v),\overline{z}(u,v))$ も等温座標系で第１基本量は$S$と同じになります． 以下，曲面$S$で解説するが$\overline{S}$でも同様である． 曲面 $S:\overrightarrow{p}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ とおいて解説する．以下$:\overrightarrow{p}(u,v)$についてベクトル表記はせず$p(u,v)$と表す． $p_u\cdot p_u=p_v\cdot p_v, \ p_u\cdot p_v=0$ 第１式を$u$で偏微分し第２式を$v$で偏微分することより $p_{uu}\cdot p_u=p_{vu}\cdot p_v=-p_{vv}\cdot p_u$ $\therefore (p_{uu}+p_{vv})\cdot p_u=0$ 第１式を$v$で偏微分し，第２式を$u$で偏微分することにより $p_{vv}\cdot p_v=p_{uv}\cdot p_u=-p_{uu}\cdot p_v$ $\therefore (p_{uu}+p_{vv})\cdot p_v=0$ ここでラプラシアンの記号$\triangle$用いて $\triangle p=p_{uu}+p_{vv}$ と表せば， $\triangle p\cdot p_u=\triangle p\cdot p_v=0$ この曲面の単位法線ベクトル$\overrightarrow{n}$を $n=\dfrac{p_u\times p_v}{|p_u\times p_v|}$ とすれば，第２基本量$L,M,N$は， $L=p_{uu}\cdot n,N=p_{vv}\cdot n$ 一方，この曲面の平均曲率$H$は$E=G,F=0$に注意すれば $H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}=\dfrac{E(L+N)}{2(EG-F^2)}$ したがって，等温座標では $H=0\Longleftrightarrow L+N=0\Longleftrightarrow \triangle p\cdot n=0$ ゆえに等温座標では 曲面$S$が極小曲面$\Longleftrightarrow \triangle p=0\Longleftrightarrow x(u,v),y(u,v),z(u,v)$が調和関数 ここまでの内容をまとめると次のようになる． ３つの正則な関数$F(z),G(z),H(z)$について，その導関数 $F'(z)=f(z),G'(z)=g(z),H'(z)=h(z)$ が $f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$ を満たすとき，$F(z),G(z),H(h)$の実部 $\mathcal{Re}(f^1(z))=x(u,v),\mathcal{Re}(f^2(z))=y(u,v),\mathcal{Re}(f^3(z))=z(u,v)$ による曲面 $S:(x(u,v),y(u,v),(u,v))$ は極小曲面である． 逆が成り立つことも確認しよう． 曲面$S$が極小曲面の時，各点の周りで等温座標系が存在するから $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ を等温座標系とする． このとき，$x(u,v),y(u,v),z(u,v)$は調和関数である． $f(u+iv)=x_u(u,v)-ix_v(u,v)$ とおくと，コーシー・リーマンの微分法方程式は $x_{uu}=-y_{vv},x_{uv}=x_{vu}$ であり，第１式は調和関数を意味し，第２式は自明な等式である． したがって，$f(x+iy)$は正則関数である． $g(u+iv)=y_u(u,v)-iy_v(u,v)$ $h(u+iv)=z_u(u,v)-iz_v(u,v)$ も同様に正則である．さらに$(u,v)$は等温座標系より $f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$ を満たす． $x(u,v),y(u,v),z(u,v)$は $F(z)=\int f(z)dz,G(z)=\int g(z)dz,H(z)=\int h(z)dz$ の実部である．もちろん虚部も同様に成り立つ． さて，以上のことより， $f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$ を満たす$f(z),g(z),h(z)$を見つけることが重要問題であることがわかる． この問題を解決しましょう． $f(z)^2+g(z)^2+h(z)^2=0$ $(f+ig)(f-ig)=-h^2$ より $-\dfrac{f+ig}{h}=\dfrac{h}{f-ig}=t(z)$ とおけば， $f+ig=-ht$ $f-ig=\dfrac{h}{t}$ より $f=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{t}-t)h,g=\dfrac{i}{2}(\dfrac{1}{t}+t)h$ ここで $\displaystyle F=\int fdz,G=\int gdz,H=\int hdz$ とおく． $\displaystyle H=\int \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{t}-t)hdz$, $\displaystyle G=\int \dfrac{i}{2}(\dfrac{1}{t}+t)hdz$, $\displaystyle H=\int h dz$ $t=t(z)$による$t$を新しい変数とするすると $dz=\dfrac{dt}{t'(z)}$ あるから， $\phi(t) =\dfrac{h(z)}{t(z)t'(z)}$ とおけば $\displaystyle F=\dfrac{1}{2}\int (1-t^2)\phi (t)dt,$ $\displaystyle G=\dfrac{i}{2}\int (1+t^2)\phi (t)dt,$ $\displaystyle H=\int t\phi (t)dt$ を得る． このままでもよいが，文字を$t$を$z$に置き換えて， $\displaystyle F(z)=\dfrac{1}{2}\int (1-z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle G(z)=\dfrac{i}{2}\int (1+z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle H(z)=\int z\phi (z)dz$ を得る． この式をEnneperの公式という． また，$\phi (z)$を３度不定積分した関数を$\Phi (z)$とおけば，すなわち $\Phi ^{(3)}(z)=\phi (z)$ とすれば，部分積分することにより $F(z)=\dfrac{1}{2}(1-z^2)\Phi "(z)+z\Phi '(z)-\Phi (z)$ $G(z)=\dfrac{i}{2}(1+z^2)\Phi "(z)-iz\Phi '(z)+i\Phi (z)$ $H(z)=z\Phi "(z)-\Phi '(z)$ をえる．この式をWeierstrassの公式という． 要するに，正則関数$\phi (z)$を一つ定め，積分することにより $F(z),G(z),H(z)$ が求まり，$\mathcal{Re}(z),\mathcal{Im}(z)$をそれぞれ複素数$z$の実部，虚部とすれば， $(\mathcal{Re}(F),\mathcal{Re}(G),\mathcal{Re}(H))$ および $(\mathcal{Im}(F),\mathcal{Im}(G),\mathcal{Im}(H))$ が極小曲面になる． パソコンを用いれば，正則関数$\phi (z)$を任意に用いて自由に曲面を描くことができるが，実際に曲面を 求めるとなると，正則関数$\phi (z)$は選ばなければならない． 続く 微分幾何