$\S 4.$ 曲面の等温座標

本題に入りたいところですが,これからの議論で曲面の等温座標系がでてきます. この内容も整理しましょう.
ここでは,ある点における2つの接ベクトルのなす角がでてきますの,内積を使うことになります.
曲面
$S:\overrightarrow{r}(u,v)$
で,2つのベクトル$a\overrightarrow{r}_u+b\overrightarrow{r}_v,c\overrightarrow{r}_u+d\overrightarrow{r}_v$の内積は
$(a\overrightarrow{r}_u+b\overrightarrow{r}_v)\cdot (c\overrightarrow{r}_u+d\overrightarrow{r}_v)$
$=acE+(ad+bc)F+bdG$
です.これは,次のように行列を用いて表示すると便利です.
$=\begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$
2つのベクトル
$\overrightarrow{x}=a\overrightarrow{r}_u+b\overrightarrow{r}_v,\overrightarrow{y}=c\overrightarrow{r}_u+d\overrightarrow{r}_v$ のなす角を$\theta$とすると,
$\cos \theta =\dfrac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}} {|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|}$
$=\dfrac{Eac+F(ad+bc)+Gbd}{\sqrt{Ea^2+2Fab+Gb^2}\sqrt{Ec^2+2Fcd+Gd^2}}$
である.ちなみに伝統的な表示は次のようになる.
曲面
$S:\overrightarrow{r}(u,v)$
の2つのベクトルを
$d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_udu+\overrightarrow{r}_vdv$
$\delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_u\delta u+\overrightarrow{r}_v\delta v$
と表し
$d\overrightarrow{r},\delta \overrightarrow{r}$のなす角$\theta$は
$\cos \theta =\dfrac{d\overrightarrow{r}\cdot \delta \overrightarrow{r}} {|d\overrightarrow{r}||\delta \overrightarrow{r}|}$
$=\dfrac{Edu\delta u+F(du\delta v +dv\delta u)+Gdv\delta v} {\sqrt{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}\sqrt{E\delta u^2+2F\delta u\delta v+G\delta v^2}}$
となる.$du,dv,\delta u,\delta v$が出てびっくりしますが, これらはベクトルを表示するときの $\overrightarrow{r}_u,\overrightarrow{r}_u$の係数で,実数として扱えばよい.

後で使うことを計算しておこう.$u$線の決めるベクトルすなわち$(1,0)$と垂直なベクトル$(m,n)$は
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}=0$
より
$Em+Fn=0$
すなわち,
$\begin{pmatrix} E \\ F \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}=0$
$\therefore \begin{pmatrix} E \\ F \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}$

さて, 2つの曲面$S,S'$間の1対1の写像
$f:S\longrightarrow S'$
で$S$上の交わる2直線は交わる2直線にうつる. 対応する2曲線の交角が常に等しいときこの写像を共形写像または等角写像という.
$f$が共形写像のとき2つの曲面$S,S'$の第1基本基本量の関係を調べよう.
$S$の座標系$(u,v)$に対して
$P(u,v)\in S\mapsto P'(u,v)=f(P)\in S'$
を対応させることにより,$u,v$が曲面$S'$の座標系にもなる.
座標系$u,v$による曲面$S,S'$の第1基本形式がそれぞれ
$Edu^2+2Fdudv+dv^2,E'du^2+2F'dudv+Gdv^2$
のとき,写像$f$が共形写像であることは,任意の実数$a,b,c,d$で
$\dfrac{Eac+F(ad+bc)+Gbd}{\sqrt{Ea^2+2Fab+Gb^2}\sqrt{Ec^2+2Fcd+Gd^2}}$
$=\dfrac{E'ac+F'(ad+bc)+G'bd}{\sqrt{E'a^2+2F'ab+G'b^2}\sqrt{E'c^2+2F'cd+G'd^2}}$
が成り立つことである.
すでに調べたように,曲面$S$の接ベクトル空間で$u$線すなわち$(1,0)$と垂直なベクトル $(m,n)$は
$(m,n)\perp (E,F)$
を満たす.
$f$が共形写像のとき,$f$による像も垂直であるから
$(m,n)\perp (E',F')$
したがって, $(E,F)\parallel (E',F')$
同様に,$v$線すなわち$(0,1)$に垂直なベクトルを考えることにより
$(F,G)\parallel (F',G')$
すなわち,$f$が共形写像の時,
$(E,F,G)\parallel (E',F',G')$
書き方を変えれば
$E'=kE,F'=kF,G'=kG, \ \ (k>0) \cdots (1)$
となる.逆に
$(1)$を満たすとき,$f$が共形写像すなわち,任意の$a,b,c,d$で
$\dfrac{Eac+F(ad+bc)+Gbd}{\sqrt{Ea^2+2Fab+Gb^2}\sqrt{Ec^2+2Fcd+Gd^2}}$
$=\dfrac{E'ac+F'(ad+bc)+G'bd}{\sqrt{E'a^2+2F'ab+G'b^2}\sqrt{E'c^2+2F'cd+G'd^2}}$
が成り立つことは容易にわかる.まとめると次のようになる.

定理
$f:S\longrightarrow S'$
が1対1の対応を与えるとき,$S$の座標系$(u,v)$は$f$によって$S'$の座標系になる.
座標系$(u,v)$に対する$S,S'$の第1基本形式をそれぞれ
$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2,I'=E'du^2+2F'dudv+G'dv^2$
とする.このとき,
$f$が共形写像 $\Longleftrightarrow \ \ E'=kE,F'=kF,G'=kG, \ \ (k>0)$
が成り立つ.

共形写像は正確には
$E'(u,v)=k(u,v)E(u,v),F'(u,v)=k(u,v)F(u,v),G'(u,v)=k(u,v)G(u,v)$
と書くべきで,$k(u,v)$は$u,v$の正値をとる関数である.$k(u,v)$が一定のとき$f$ を特に相似写像または相似変換という.

2つの曲面どうしは局所的にはであるが共形写像が存在する.これは,任意の曲面が平面への共形写像が存在することを示すことにより証明するのであるが それはあとで示すとして,まず球面の平面への共形写像を求めよう.

単位球面
$S:(\cos v\cos u,\cos v \sin u,\sin v)$
について調べよう.
$x=\cos v\cos u,y=\cos v \sin u,z=\sin v$
より
$(x_u,y_u,z_u)=(-\cos v\sin u,\cos v\cos u,0)$
$(x_v,y_v,z_v)=(-\sin v\cos u,-\sin v\sin u,\cos v)$
より
$E=\cos ^2v,F=0,G=1$
である.ここで,$st$平面から$uv$平面への写像
$(s,t)\mapsto (u,v);u=s,v=f(t)$
とおく.
$(s,t)$を新しい座標としたときの第1基本量は
$E'=\cos ^2 f(t),F'=0,G'=f'(t)^2$
したがって,
$v=f(t)$が
$\cos^2f(t)=f'(t)^2$
を満たせばよい.
$\dfrac{dv}{dt}=\cos v$
より
$\displaystyle t=\int \dfrac{dv}{\cos v}=\log |\tan (\dfrac{v}{2}+\dfrac{\pi}{4})|+C$
一つ見つければよいから積分定数$C=0$として
$s=u,t=\log| \tan(\dfrac{v}{2}+\dfrac{\pi}{4})|, \ \ \ (-\dfrac{\pi}{2}$<$v$<$\dfrac{\pi}{2})$
これは,メルカトル図法である.

なお,メルカトル図法を出さなくとも,球面の極射影も球面から平面への共形写像である.

実際,球面
$S:x^2+y^2+z^2=1$
の北極$N(0,0,1)$を射影の中心とする,
$f:S\setminus N\longrightarrow \mathbb{R}^2;P\mapsto Q$
を点$Q$は直線$NP$と$xy$平面の交点 によって定義する.
$P(x,y,z),Q(u,v,0)$
とすると,直線$NQ$は
$(0,0,1)+t(u,v,-1)$
より
$x^2+y^2+z^2=1$
に代入し
$x=\dfrac{2u}{u^2+v^2+1},y=\dfrac{2v}{u^2+v^2+1},z=1-\dfrac{2}{u^2+v^2+1}$
球面$S$のこの媒介変数表示による第1基本量を計算すると
$E=G=\dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2},F=0$
となり等温座標系であることがわかる.

残された問題は任意の曲面は平面への共形写像が存在することを示すことである.もちろん局所的にである.
これはなかなか難しい問題で,どの本を見ても,何かしらの条件のもとで証明している,ここでは,曲面 $S:f(u,v)=(f^1(u,v),f^2(u,v),f^3(u,v))$
を定義する3つの関数$f^1(u,v),f^2(u,v),f^3(u,v)$が解析関数であることを仮定して証明する.
証明 半測地座標系は必ず存在するので,第1基本形式は
$I=E^2du^2+G^2dv^2$
としてよい.
$I=(Edu+iGdv)(E-iGdv)$
である.
$\alpha =Edu+iGdv$
とおけば,$S$上の任意の点の十分小さい近傍で
$dz(u,v)=a(u,v)(Edu+iGdv)$
を満たす複素数値の関数$a(u,v)$および複素数値の解析関数である1次微分形式$z(u,v)$ が存在する.
証明は
藤原松三郎  微分積分学第2巻 内田老鶴圃
の517ページがわかりやすい.
この存在を認めると
$z(u,v)$の実部,虚部をそれぞれ$x(u,v),y(u,v)$すなわち
$z(u,v)=x(u,v)+iy(u,v)$
とおくと,
$I=\alpha \bar{\alpha }=\dfrac{dx^2+dy^2}{|a(u,v)|^2}$
したがって,$x(u,v),y(u,v)$が求めるものである.


続く



微分幾何