まず極小曲面が直線を含むときの極小曲面の性質です．

定理1
極小曲面が１直線を含むとき，曲面はこの直線に関して対称である．
証明
考える直線を$z$軸すなわち
$x=0,y=0,z=t$
$z$軸に沿った曲面の単位法線ベクトルを
$\boldsymbol{n}(t)=(n_1(t),n_2(t),0)$
とおけば
$(0,0,1)\times \boldsymbol{n}=(-n_2(t),n_1(t),0)$
したがって，シュワルツの公式より
$\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t)=(0,0,t)+i\int (-n_2(t),n_1(t),0)dt$
ここで$\int (-n_2(t),n_1(t),0)dt=(-N_2(t),N_1(t),0)$とおく
$\boldsymbol{\Phi}(t)=(0,0,t)+i(-N_2(t),N_1(t),0)$
$N_2(t),N_1(t)$の解析接続をそれぞれ
$f(u,v)+i\bar{f}(u,v),g(u,v)+i\bar{g}(u,v)$
とおけば
$\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(z)$
$=(0,0,u+iv)+i(-f(u,v)-i\bar{f}(u,v),g(u,v)+i\bar{g}(u,v),0)$
$=(\bar{f}(u,v),-\bar{g}(u,v),u)+i(v,-f(u,v),g(u,v))$
したがって，曲面
$(\bar{f}(u,v),-\bar{g}(u,v),u),(v,-f(u,v),g(u,v))$
はともに極小曲面である．実部である
$(\bar{f}(u,v),-\bar{g}(u,v),u)$
に注目する．
$(\bar{f}(u,-v),-\bar{g}(u,-v),u)=(-\bar{f}(u,v),\bar{g}(u,v),u)$
である．したがって，点$P$がこの曲面上にあれば，$z$軸に関して$P$と対称な点もこの曲面 上にあり定理が証明された．

次の定理は定理１と対をなす．
定理２
1平面が交線に沿って極小曲面と垂直に交わるとき，極小曲面はこの平面に関して対称である．
証明
平面を$xy$平面として，交線を
$(x(t),y(t),0)$
とする．
曲線を平面上の曲線とみて，曲線に沿った曲線の単位法線ベクトルを$\boldsymbol{n}(t)$とすると
$(x'(t),y'(t),0)\times \boldsymbol{n}=(0,0,\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2})$
である．したがってシュワルツの公式より
$\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t)=(x(t),y(t),0)+i\int (0,0,\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2})dt$
である．
$x(t),y(t),\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$の解析接続をそれぞれ
$x(u,v)+i\bar{x}(u,v),y(u,v)+i\bar{y}(u,v),z(u,v)+i\bar{z}(u,v)$
とおけば
$\boldsymbol{\Phi}(z)=(x(u,v)+i\bar{x}(u,v),y(u,v)+i\bar{y}(u,v),0)+ i(0,0,z(u,v)+i\bar{z}(u,v)$
実部，虚部はそれぞれ
$(x(u,v),y(u,v),-\bar{z}(u,v)),(\bar{x}(y,v),\bar{y}(u,v),z(u,v))$
実部に注目すると $P(x(u,v),y(u,v),-\bar{z}(u,v))$とすると$Q(x(u,-v),y(u,-v),-\bar{z}(u,-v))$は $xy$平面に関して点$P$と対称である．したがって定理が証明された．

３次元空間内に曲線と曲線に沿った法ベクトルが与えられたとき，シュワルツの公式により ２つの極小曲面が作れることがわかった．
曲線に沿った法線ベクトルであるが，曲線を含む曲面の法線ベクトルを与えれば，得られる極小曲面は 曲線に沿って法線を与えた曲面と接する極小曲面が得られる．また，空間曲線を測地線とする曲面は 曲線の曲率ベクトルが曲面の法ベクトルである．
これらの性質より得られた極小曲面が次の例である．

例１ $z$軸を通り双曲放物面
$\boldsymbol{p}(s,t)=(s,st,t)$
に接する極小曲面を求めよ．
解答 解答の前に，$\boldsymbol{p}$の方程式は$y=xz$である．この曲面を$y$軸の周りに$\frac{\pi}{4}$だけ回転すると $y=\frac{x^2-z^2}{2}$であり，双曲放物面であることがわかる．
$(\boldsymbol{p})_s=(1,t,0),(\boldsymbol{p})_t=(0,s,1)$
であるから，曲面$\boldsymbol{p}$の法線ベクトルは$(t,-1,s)$であり，$z$軸に 沿った単位法線ベクトルは$s=0$より
$\boldsymbol{n}=\dfrac{(t,-1,0)}{\sqrt{1+t^2}}$
シュワルツの公式より
$\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t) =(0,0,t)+i\int (0,0,1)\times \boldsymbol{n}dt$
$\displaystyle =(0,0,t)+i\int \dfrac{(1,t,0)}{\sqrt{t^2+1}}dt$
$t=i\sin \theta$とおくと，
$\displaystyle =(0,0,i\sin \theta)+i\int (1,i\sin \theta ,0)id\theta$
$=(-\theta ,i\cos \theta ,i\sin \theta)$
$\theta =u+iv=z$とおいて解析接続をすると
$\boldsymbol{\Phi}(z)=(-u-iv,i\cos (u+iv),i\sin(u+iv))$
ここで$\cos (iz)=\cosh z,\sin (iz)=i\sinh z$であるから
$=(-u-iv,i\cos u\cosh v+\sin u\sinh v,i\sin u\cosh v-\cos u\sinh v)$
求める曲面は実部を取ればよい.
$(-u,\sin u\sinh v,-\cos u\sinh v)$
であり，この曲面は常らせん面である．


続く



微分幾何