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$\S16.$カタラン曲面(2) 続いて，カタラン曲面およびその共役曲面のグラフを見てみましょう． 次の図が $0\leqq u\leqq 2\pi,-1\leqq v\leqq 1$ におけるカタラン曲面です． 
座標曲線に注目しましょう．$v$線は放物線です．任意の$u$で$v$線は平面曲線であることがわかりますが， これはあとで説明します． $u$線が重要です． $v=0$の時$u$線は$xy$平面上のサイクロイドですが，$v\neq 0$のとき原点の周りで一回りして上下に離れます． 言葉では説明しづらいのですが，次の図を見ればわかると思います． 下図は $0\leqq u\leqq 2\pi,0\leqq v\leqq 0.5$ のグラフです． 
$v$線が平面曲線であることは $\det (\dfrac{\partial p }{\partial v} \ \dfrac{\partial ^2p}{\partial v^2} \ \dfrac{\partial ^3p}{\partial v^3})=0$ が成り立つかどうかを調べればよいが，これは簡単な計算で，成り立つことがわかる． 次にカタラン曲面の共役曲面を調べよう． 共役曲面 $\boldsymbol{q}(u,v) =(2v-\cos 2u \sinh 2v,-\sin 2u \sinh 2v,4\cos u \cosh v)$ を描くと次のようになる． 
$u=\frac{\pi}{2}+n\pi$のとき$x$軸である．したがって鏡像原理より$x$軸に関して対称である． 実際 $\boldsymbol{q}(u,v)=(q_1(u,v),q_2(u,v),q_3(u,v))$ とおくと $(q_1(\frac{\pi}{2}+u,v),q_2(\frac{\pi}{2}+u,v),q_3(\frac{\pi}{2}+u,v)) =(q_1(\frac{\pi}{2}-u,v),-q_2(\frac{\pi}{2}-u,v),-q_3(\frac{\pi}{2}-u,v))$ である．さらに， $\boldsymbol{q}(u,v)$と$\boldsymbol{q}(u,-v)$は$z$軸に関して対称である． したがって，$-\frac{\pi}{2}\leqq u\leqq \frac{\pi}{2},0\leqq v$の図形が基本になり， 他はその対称移動で得られる． 基本となるグラフは次の図である． 
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