$\S16.$カタラン曲面(2)

続いて,カタラン曲面およびその共役曲面のグラフを見てみましょう.
次の図が
$0\leqq u\leqq 2\pi,-1\leqq v\leqq 1$
におけるカタラン曲面です.
一見2つの曲面よりなるように見えますが,そうではありません.
座標曲線に注目しましょう.$v$線は放物線です.任意の$u$で$v$線は平面曲線であることがわかりますが, これはあとで説明します.
$u$線が重要です.
$v=0$の時$u$線は$xy$平面上のサイクロイドですが,$v\neq 0$のとき原点の周りで一回りして上下に離れます. 言葉では説明しづらいのですが,次の図を見ればわかると思います.
下図は
$0\leqq u\leqq 2\pi,0\leqq v\leqq 0.5$
のグラフです.

$u$線を描くと次のようになります.

$v$線が平面曲線であることは
$\det (\dfrac{\partial p }{\partial v} \ \dfrac{\partial ^2p}{\partial v^2} \ \dfrac{\partial ^3p}{\partial v^3})=0$
が成り立つかどうかを調べればよいが,これは簡単な計算で,成り立つことがわかる.

次にカタラン曲面の共役曲面を調べよう.
共役曲面
$\boldsymbol{q}(u,v) =(2v-\cos 2u \sinh 2v,-\sin 2u \sinh 2v,4\cos u \cosh v)$
を描くと次のようになる.
得体のしれないグラフであるが,式を見てみよう.
$u=\frac{\pi}{2}+n\pi$のとき$x$軸である.したがって鏡像原理より$x$軸に関して対称である.
実際
$\boldsymbol{q}(u,v)=(q_1(u,v),q_2(u,v),q_3(u,v))$
とおくと
$(q_1(\frac{\pi}{2}+u,v),q_2(\frac{\pi}{2}+u,v),q_3(\frac{\pi}{2}+u,v)) =(q_1(\frac{\pi}{2}-u,v),-q_2(\frac{\pi}{2}-u,v),-q_3(\frac{\pi}{2}-u,v))$
である.さらに, $\boldsymbol{q}(u,v)$と$\boldsymbol{q}(u,-v)$は$z$軸に関して対称である.
したがって,$-\frac{\pi}{2}\leqq u\leqq \frac{\pi}{2},0\leqq v$の図形が基本になり, 他はその対称移動で得られる.
基本となるグラフは次の図である.
(極小曲面の項目終わり)





微分幾何