話を戻そう．これからワインガルテン写像を調べていく． 曲面 \(F:f(u,v)\) の接ベクトルは\(af_u+bf_v\)のように表していたが，これからは \(f_udu+f_vdv\) と微分形式の形であらわす． これだけで気後れしそうですが，心配する必要はありません．\(du,dv\)は実数として扱えばよいのです． なぜ\(du,dv\)を使うかを簡単に説明すると，\(du,dv\)は接ベクトル空間\(T_P(F)\)における\(f_u,f_v\)の双対基底です．すなわち \(w=af_u+bf_v\) に対して \(du(w)=a,dv(v)=b\) を満たし，これから接ベクトル\(w\)を \(w=f_udu+f_vdv(=df)\) と表します． この接ベクトルの表示法はとても便利で，たとえば曲面上の曲線の点\(P\)における接ベクトルが\(\frac{dv}{du}\)となり，簡単に微分方程式が 作れます． 曲面\(F\)の第１基本形式は \(I=(f_udu+f_vdv)\cdot (f_udu+f_vdv)=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\) 第２基本形式は \(II=d^2f\cdot n=-df\cdot dn=(f_{uu}du^2+2f_{uv}dudv+f_{vv}dv^2)\cdot n\) \(=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2\) 前ページで証明した内容と重なるが，曲面の第２基本形式をワインガルテン写像を用いて表すと次のようになる． 命題5 \(II=W(df)\cdot df\) ただし，\(df=f_udu+f_vdv\) 証明 \(W(df)\cdot df=(-n_udu-n_vdv)\cdot (f_udu+f_vdv)=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2\) 次にワインガルテン写像 \(W:T_P(F)\longrightarrow T_P(F)\) は対称変換であるから，\(kE\)でないとき異なる２つの実数の固有値を持ち，固有ベクトルは直交する． 固有値を\(\alpha _1,\alpha _2 (\alpha _1>\alpha _2)\),それぞれの単位固有ベクトルを それぞれ\(e_1,e_2\)とする．このとき，\(e_i\)方向の法曲率\(k_n(e_i)\)は \(k_n(e_i)=\dfrac{II}{I}=\dfrac{W(e_i)\cdot e_i}{e_i\cdot e_i}=\alpha _i\) 一方任意の単位方向ベクトル\(u\)の法曲率\(k_n(u)\)は \(k_n(u)=\dfrac{II}{I}=\dfrac{W(u)\cdot u}{u\cdot u}\) であり，\(e_1\)から\(u\)へ向かってはかった角を\(\theta \)とすると \(u=e_1\cos \theta +e_2\sin \theta \) であるから\(u\)方向の法曲率\(k_n(u)\)は \(k_n(u)=\dfrac{W(u)\cdot u}{u\cdot u}=W(u)\cdot u =(\alpha _1\cos \theta e_1+\alpha _2\sin \theta e_2)\cdot (\cos \theta e_1+\sin \theta e_2)\) \(=\alpha _1\cos ^2\theta +\alpha _2\sin ^2\theta \) この得られた式はすでに扱った法曲率についてのオイラーの公式である． オイラーの公式より,任意の法曲率\(k_n\)は \(k_n=\alpha _1\cos ^2\theta +\alpha _2(1-\cos ^2 \theta)\) \(=\alpha _2+(\alpha _1-\alpha _2)\cos ^2 \theta \) \(\therefore \alpha _2 \leqq k_n \leqq \alpha _1 \) したがって，ワインガルテン写像の固有値\(\alpha _1,\alpha _2\)が主曲率，固有ベクトルが主方向であり，主方向が直交することが 改めて示された． 議論の中で，ワインガルテン写像が\(kE\)でないときを考えてきた．ここで， \(W=kE\)のときを調べよう． \(II=W(df)\cdot df=kdf\cdot df=kI\) したがって，第１基本形式 \(I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\) 第２基本形式 \(II=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=kEdu^2+2kFdudv+kGdv^2\) の第１基本量\(E,F,G\),第２基本量\(L,M,N\)には \(L:E=M:F=N:G=k:1\cdots (\sharp)\) の関係がある．このときはどの方向の法曲率も\(k\)である． 曲面上の点で\((\sharp)\)を満たすとき臍点（せいてん）という． 臍点のうち，\(k=0\)すなわち，\(L=M=N=0\)のとき平坦点といい，\(k\neq 0\)のとき円点という． 続く 微分幾何の目次 |