8.ガウス写像(2)

話を戻そう.これからワインガルテン写像を調べていく.
曲面
\(F:f(u,v)\)
の接ベクトルは\(af_u+bf_v\)のように表していたが,これからは
\(f_udu+f_vdv\)
と微分形式の形であらわす.
これだけで気後れしそうですが,心配する必要はありません.\(du,dv\)は実数として扱えばよいのです.
なぜ\(du,dv\)を使うかを簡単に説明すると,\(du,dv\)は接ベクトル空間\(T_P(F)\)における\(f_u,f_v\)の双対基底です.すなわち
\(w=af_u+bf_v\)
に対して
\(du(w)=a,dv(v)=b\)
を満たし,これから接ベクトル\(w\)を
\(w=f_udu+f_vdv(=df)\)
と表します.
この接ベクトルの表示法はとても便利で,たとえば曲面上の曲線の点\(P\)における接ベクトルが\(\frac{dv}{du}\)となり,簡単に微分方程式が 作れます.

曲面\(F\)の第1基本形式は
\(I=(f_udu+f_vdv)\cdot (f_udu+f_vdv)=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)

第2基本形式は
\(II=d^2f\cdot n=-df\cdot dn=(f_{uu}du^2+2f_{uv}dudv+f_{vv}dv^2)\cdot n\)
\(=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2\)
前ページで証明した内容と重なるが,曲面の第2基本形式をワインガルテン写像を用いて表すと次のようになる.

命題5
\(II=W(df)\cdot df\)
ただし,\(df=f_udu+f_vdv\)
証明
\(W(df)\cdot df=(-n_udu-n_vdv)\cdot (f_udu+f_vdv)=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2\)

次にワインガルテン写像
\(W:T_P(F)\longrightarrow T_P(F)\)
は対称変換であるから,\(kE\)でないとき異なる2つの実数の固有値を持ち,固有ベクトルは直交する.
固有値を\(\alpha _1,\alpha _2 (\alpha _1>\alpha _2)\),それぞれの単位固有ベクトルを それぞれ\(e_1,e_2\)とする.このとき,\(e_i\)方向の法曲率\(k_n(e_i)\)は
\(k_n(e_i)=\dfrac{II}{I}=\dfrac{W(e_i)\cdot e_i}{e_i\cdot e_i}=\alpha _i\)
一方任意の単位方向ベクトル\(u\)の法曲率\(k_n(u)\)は
\(k_n(u)=\dfrac{II}{I}=\dfrac{W(u)\cdot u}{u\cdot u}\)
であり,\(e_1\)から\(u\)へ向かってはかった角を\(\theta \)とすると
\(u=e_1\cos \theta +e_2\sin \theta \)
であるから\(u\)方向の法曲率\(k_n(u)\)は \(k_n(u)=\dfrac{W(u)\cdot u}{u\cdot u}=W(u)\cdot u =(\alpha _1\cos \theta e_1+\alpha _2\sin \theta e_2)\cdot (\cos \theta e_1+\sin \theta e_2)\)
\(=\alpha _1\cos ^2\theta +\alpha _2\sin ^2\theta \)
この得られた式はすでに扱った法曲率についてのオイラーの公式である.
オイラーの公式より,任意の法曲率\(k_n\)は
\(k_n=\alpha _1\cos ^2\theta +\alpha _2(1-\cos ^2 \theta)\)
\(=\alpha _2+(\alpha _1-\alpha _2)\cos ^2 \theta \)
\(\therefore \alpha _2 \leqq k_n \leqq \alpha _1 \)
したがって,ワインガルテン写像の固有値\(\alpha _1,\alpha _2\)が主曲率,固有ベクトルが主方向であり,主方向が直交することが 改めて示された.
議論の中で,ワインガルテン写像が\(kE\)でないときを考えてきた.ここで, \(W=kE\)のときを調べよう.
\(II=W(df)\cdot df=kdf\cdot df=kI\)
したがって,第1基本形式
\(I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
第2基本形式
\(II=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=kEdu^2+2kFdudv+kGdv^2\)
の第1基本量\(E,F,G\),第2基本量\(L,M,N\)には
\(L:E=M:F=N:G=k:1\cdots (\sharp)\)
の関係がある.このときはどの方向の法曲率も\(k\)である. 曲面上の点で\((\sharp)\)を満たすとき臍点(せいてん)という.
臍点のうち,\(k=0\)すなわち,\(L=M=N=0\)のとき平坦点といい,\(k\neq 0\)のとき円点という.


続く


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