微分方程式を用いるとき，通常の連立方程式の未知数の数と方程式の数のように， 与える式の数と求める式の数は一致するのが自然です． ここでは$s$が弧長，曲率$k(s)$，捩率$\tau(s)$と条件は３条件で，求める式は $\boldsymbol{f}=(f_1,f_2,f_3)$ と３つでバランスがとれでいます． このバランスが取れていないと，たとえ解は存在してもいろいろな問題が起こり， そこから思わぬ結果を導き出すことができたりします． このことは，曲面に関しておこることで，曲面の基本定理で解説します． 弧長変数で表された曲線は曲率，捩率が決まれば完全に決まります． そこで，曲線を $k(s),\tau (s)$ と表すことができます．この表し方を曲線の自然方程式といいます． 曲率と捩率で曲線が決まりますが， ここでは，曲率，捩率が定数のとき，どのよう曲線かを調べましょう． （T）曲率$k(s)=0$のとき $\boldsymbol{f}''(s)=0$ より直線です． （U）曲率$k(s)=$(定数)＞$0$，捩率$\tau (s)=0$のとき 円$(a\cos \theta ,a\sin \theta ,0)$は曲率$\dfrac{1}{a}$,捩率$0$です． したがって，条件を満たす図形は円です． 
（V）曲率$k(s)=$(定数)＞$0$，捩率$\tau (s)=$(定数)のとき円柱螺旋$(a\cos \theta ,a\sin \theta ,bt)$の曲率$k(s)$，捩率$\tau (s)$は $k(s)=\dfrac{a}{a^2+b^2},\tau (s)=\dfrac{b}{a^2+b^2}$ となります． 捩率$\tau$が正のとき進行方向に向かって右回り（上図） 負のとき進行方向に向かって左回り（下図）です． 
例 ここで， 曲率$k(s)=1$，捩率$\tau (s)=1$の場合に，曲線の基本定理の微分方程式を解いてみよう． まず，$\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} (s)$に関する微分方程式 $\boldsymbol{\alpha} '(s)=\boldsymbol{\beta} (s)$・・・@ $\boldsymbol{\beta} '(s)=-\boldsymbol{\alpha} (s)+\boldsymbol{\gamma} (s)$・・・A $\boldsymbol{\gamma} '(s)=-\boldsymbol{\beta} (s)$・・・B を解くことになる．Aを微分し，@，Bを代入することにより $\boldsymbol{\beta}''(s)=-2\boldsymbol{\beta} (s)$ を得る． したがって， $\boldsymbol{\beta} (s)=(c_1,c_2,c_3)\cos (\sqrt{2}s)+(d_1,d_2,d_3)\sin (\sqrt{2}s)$ 任意の$s$で$|\boldsymbol{\beta} (s)|=1$であるので， $\boldsymbol{\beta} (s)\cdot \boldsymbol{\beta} (s)$ $=(c_1,c_2,c_3)\cdot (c_1,c_2,c_3)\cos^2 (\sqrt{2}s) +2(c_1,c_2,c_3)\cdot (d_1,d_2,d_3)\sin (\sqrt{2}s)\cos (\sqrt{2}s)$ $+(d_1,d_2,d_3)\cdot (d_1,d_2,d_3)\sin^2 (\sqrt{2}s) $ より $|(c_1,c_2,c_3)|=1,|(d_1,d_2,d_3)|=1,(c_1,c_2,c_3)\cdot (d_1,d_2,d_3)=0$ を得る． ここでは， $(c_1,c_2,c_3)=(-1,0,0),(d_1,d_2,d_3)=(0,-1,0)$ をとると $\boldsymbol{\beta} (s)=(-\cos (\sqrt{2}s),-\sin (\sqrt{2}s),0)$ $\boldsymbol{\alpha} '(s)=\boldsymbol{\beta} (s)$より $\boldsymbol{\alpha} (s)=\dfrac{(-\sin (\sqrt{2}s),\cos (\sqrt{2}s),0)}{\sqrt{2}}+(b_1,b_2,b_3)$ ベクトル$(b_1,b_2,b_3)$は定ベクトルで，$|\boldsymbol{\alpha} (s)|=1$でであるから， $(b_1,b_2,b_3)=(0,0,\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ をとると $\boldsymbol{\alpha} (s)=\dfrac{(-\sin (\sqrt{2}s),\cos (\sqrt{2}s),1)}{\sqrt{2}}$ $\boldsymbol{\alpha} (s)$を$s$で積分し，解の１つとして $\boldsymbol{f}(s)=\dfrac{(\cos (\sqrt{2}s),\sin (\sqrt{2}s),\sqrt{2}s)}{2}$ ここで$\sqrt{2}s=t$とおくと $\boldsymbol{f}(s)=\dfrac{(\cos t,\sin t,t)}{2}$ であり，これは円柱螺旋で，予想したものです． 曲線は 曲率$k(s)(\geqq 0),$捩率$\tau (s)$ が定まれば決まります． Mathematicaを用いれば簡単にグラフを書くことが出来ます， 下の図は $k(s)=s^2,\tau (s)=s,-5\leqq s\leqq 5$ の曲線です．これはこれでいろいろ分かり楽しいものです． 
(曲線の基本定理の項目終わり) 1.曲面の第1基本形式（ＰＤＦファイル） 微分幾何の目次 |